행렬의 의미와 몇가지 특별한 행렬에 대해서는 포스팅을 해두었습니다.

수학에서 수를 2차원으로 전개하는 방법인 행렬(MATRIX)와 특별한 행렬들(단위행렬, 역행렬, 전치행렬)

행렬을 이용하면 같은 속성을 가지는 수를 모아서 배열해서 볼 수 있습니다.

이렇게 배열한 후에 한번에 연산하는 방법에 대해서 알아보겠습니다.

① 행렬의 덧셈과 뺄셈

덧셈과 뺄셈은 그냥 똑같이 계산하면 됩니다.

다만 행렬의 크기가 같아야 합니다.

(A+B)_mn  = [A_mn + B_mn]

② 실수곱(스칼라 곱)

행렬에 실수를 곱하는 것을 스칼라 곱이라고도 합니다.

이경우도 행렬의 모든 구성요소에 똑같은 숫자가 곱해지면 됨으로 어렵지 않습니다.

k · A  = [k · A_mn]

③ 행렬곱의 곱

행렬끼리 곱할때는 규칙이 있습니다.

많은 수학의 공식중에서도 상당히 혼돈이 생기는 구성으로 학생때는 더듬거리면서 공부한 기억이 있습니다.

우선  곱셈의 앞에 있는 행렬의 "열"과 뒤에 있는 행렬의 "행"이 같아야 합니다.

이렇게 연산된 결과는 앞에 있는 행렬의 "행"과 뒤에 있는 행렬의 "열"이 됩니다.

A_mn x B_nl = AB_ml

그리고 앞에 있는 행의 구성과 열의 구성이 곱해서 더해집니다.

말로하면 어렵고 손으로 쓰면서 봐야 이해가 됩니다.

예를 들어,

간단한 행렬만해도 상당히 길어집니다.

2 * 3의 행렬과 3 * 2이 곱해져서 2 * 2 행렬이 된 것을 볼 수 있습니다.

행렬곱의 각 요소를 나타낼 수도 있습니다.

행렬의 곱은 복잡해보이지만 백터연산, 좌표계연산등 다양한 분야에서 쓰입니다.

실제로 적용이 많이 되는 공식임으로 설사 수식을 일일히 사용하지 않아도 이 참에 알고 있는게 좋습니다.

행렬(Matrix)은 숫자들을 직사각형 모양으로 배열한 상태를 말합니다.

이렇게 숫자들을 배열함으로 인해 여러가지 수들을 규칙적/구조적으로 연산할 수 있습니다.

수학에서는 행렬을 사용해서 이차원적으로 배열한 숫자를 다루는 분야에는 대표적으로 선형대수학이 있습니다.

그리고 여러 개의 숫자를 사용하는 특성은 물리학, 생물학등 거의 모든 분야의 과학과 공학에서 유용하게 응용됩니다.

행렬은 가로 줄인 행(Row)과 세로 줄인 열(Column)로 구성됩니다.

행은 수평 방향으로 배열된 숫자들의 모음이며, 열은 수직 방향으로 배열된 숫자들의 모음입니다.

그러니까 가로줄의 갯수가 행이고 세로줄의 수가 열입니다.

직사각형모양임으로 모든 숫자가 자신의 행과 열을 가지고 있고 주소처럼 사용할 수 있습니다.

(예 : 3행의 2열)

행렬을 표기할 때도 (행)(열)을 사용합니다. 5X4 행렬은 A₅₄로 표기됩니다.

행렬은 자유도가 높은 배열이라 여러가지로 만들 수 있습니다.

그래도 몇가지 특정한 행렬구성에는 이름이 붙기도 하는데 그것들을 알아보겠습니다.

① 정사각행렬(Square Matrix) :

행의 수와 열의 수가 같은 행렬입니다.

특별한 수식을 수행할 때 정사각행렬을 사용해야 할 때가 있습니다.

아래 소개되는 행렬은 모두 정사각행렬을 기준으로 합니다.

② 단위행렬(identity matrix) : 

정사각행렬의 대각성분만 1이고 나머지는 0인 행렬입니다.

행렬곱을 수행할 똑같은 행렬을 반환합니다.

I1, I2, In과 같이 표기합니다.

③ 역행렬(Inverse Matrix) : 

곱했을때 단위행렬이 되는 행렬을 말합니다.

역행렬이 존재하지 않는 경우도 있습니다.

③ 전치 행렬(Tanspose) :

정사각행렬이 A가 있을 때 대각성분을 기준으로 대칭인 행렬입니다.

A = AT 라고 표기합니다.

④ 영행렬 (Zero Matrix) : 

모든 구성요소가 0인 행렬을 의미합니다.

정규분포는 자연계에 존재하는 각종 현상의 산포를 가장 잘 보여주는 지표라고들 부릅니다.

x = 값, μ = 평균, σ = 표준편차 일때 정규분포 함수 그래프의 공식은 아래와 같습니다.

정규분포 함수를 적분하면 확률(확률밀도)를 구할 수 있습니다.

확률을 풀이하는 여러가지 해 중에 유용한 것이 확률밀도함수와 누적분포함수입니다.

그 정의에 대해서 알아보면,

확률 밀도 함수(確率密度函數, probability density function : pdf)는 확률 변수의 분포를 나타내는 함수로, 정규분포함수 f(x)와 구간 [a, b]에 대해서 확률 변수 P가 구간에 포함될 확률 P(a≤X≤b)는

가 됩니다. 이때, 누적분포함수(累積分布函數, cumulative distribution function : cdf)는

가 됩니다.

(출처 : 위키백과)

이 공식은 개념을 설명하기 위한 것이고 밀도 함수에 대한 다른 해석도 많습니다.

그 의미는 하나이기 때문에 좀 쉬운 공식을 찾아 가져와서 설명했고 좋은 개념입니다.

그래도 공식만으로는 알기 어려울테니 풀어서 추가로 더 설명드리겠습니다.

① 확률밀도함수(Probability Density Function)

확률밀도함수는 a와 b사이의 확률이고 보통은 아주 좁은 구간 혹은 순간의 확률을 이야기합니다.

아래 그림으로 보면 아래 -1일 때 확률 밀도는 0.24197이 됩니다.

확률밀도함수는 엄밀한 정의로는 미분가능한 연속적인 구성에서만 정의되는 개념입니다.

이렇게 일상에서 확률이라고 말하는 것은 보통 확률 밀도 값입니다.

확률밀도함수는 확률분포함수와 많이 닳은 개념입니다.

잠깐 확률분포함수 이야기를 하겠습니다. 사건이 비연속적인 분포를 이산확률분포라고 합니다.

이산확률분포에서 확률값 = 확률분포함수이고, 일상에서는 자주 사용이 됩니다.

예1) 동전을 5번 던져서 3번 앞면이 나올 확률(밀도함수값)은 0.3125(31.25%)입니다.

예2) 동전을 5번 던져서 3번 혹은 4번 앞면이 나올 확률은 0.46875(46.87%)입니다.

확율밀도함수는 이것에 연속 개념이 추가된 것이라고 보면 좀 이해하기 쉬울 것입니다.

② 누적분포함수(Cumulative Distribution Function)

분포에서 특정값보다 작거나 같은 값들의 범위를 의미합니다.

아래 예를 보면 C(-1) = -1 이하의 모든 범위 : -∞ ~ -1의 면적이 됩니다.

누적분포함수를 연산하여 다양한 경우의 수를 뽑을 수 있기 때문에 수학적인 영역에서 자주 사용됩니다.

정규분포는 평균을 기준으로 좌우대칭이고 전체 면적을 다 합치면 1(100%)가 되는 특성이 있습니다.

때문에 C(-1) : -1보다 작을 확률을 알면, 1보다 큰 확률과 같습니다.

또 1(100%)에서 C(-1)를 빼면 -1보다 큰 영역의 면적(확률)과 같습니다.

응용하기 좋아서 통계학의 확률론 뿐만아니라 다양한 곳에서 등장하는 개념입니다.

곡선은 점이 평면상이나 공간 내를 연속적으로 움직일 때 생기는 선이다. 
"곡선"은 연속곡선을 뜻한다.
(출처 : 두산백과)

사전에서 곡선의 의미는 좀 어렵습니다. 정의 대로라면 직선은 곡선에 포함됨니다.

일반 적으로는 두 점을 끊김 없이 연속된 선을 이용해서(미분가능할 때) 연결 할 때,

변곡이 없이 최단거리로 연결하는 것을 직선이라고 하고, 변곡이 있으면 곡선이라고 합니다.

변곡이 있는 곡선의 모든 구성이 한개의 중심을 가진 원 위에 있을 때는 구면, 아니면 비구면이라고 표현합니다.

원은 중심의 한점을 기준으로 거리가 같은 점들의 집합을 말합니다. 

두 점을 이어주는 구면을 포함한 원의 일부를 "부채꼴(circular sector)"이라고 합니다.

부채꼴의 성분엔는 곡선인 "호(arc)"가 있고 일부 성분을 연결한 직선인 "현(chord)" 그리고 중심각 θ가 있습니다.

호와 현, 부채꼴의 모양에 대한 몇가지 공식에 대해서 알아 보겠습니다.

거의 모든 특성을 반지름과 중심각으로 정리할 수 있습니다.

r = 반지름, θ_r = 중심각(라디안 단위)

공식의 각도는 라디안 단위라서 360분법의 각도를 사용한다면 π/180을 곱해줘야 합니다.

<<공식들>>

ᆞ호의 길이

ᆞ부채꼴의 둘레

ᆞ부채꼴의 넓이

ᆞ현의 길이

ᆞ현의 높이

ᆞ현과 호가 만드는 도형의 둘레(이 부분을 "활꼴 - segment of a circle "이라고 합니다.)

ᆞ활꼴의 넓이

숫자는 인류의 발명한 개념 중 가장 위대한 것이 아닌가 합니다.

현대에도 가장 많이 사용하는 십진법에는 0~9까지 숫자에 자리수를 사용해서 수를 표현합니다.

진수체계에서는 수가 늘어나면 자리수를 늘려 계속 늘어날 수 있어 무한이라는 개념을 제공합니다.

1. 진수의 개념

십진수로 적어서  67,543이라는 큰 수가 있다고 하겠습니다.

자리수로 나누면 60,000 + 7,000 + 500 + 40 + 3로 나타낼 수 있습니다.

숫자들의 순서는 같지만 자리수에 따라 크기가 달라지는 시스템입니다.

10의 지수를 이용해서 아래처럼 표기할 수도 있습니다.

8진수의 경우에는 0 ~ 7까지 표기한 후에 자리수가 올라가게 됩니다.

16진수는 0 ~ 15까지 표기하고 자리수가 올라가게 됩니다.

16진수 같은 경우 10이 넘어도 숫자표기가 이어져야하여 알파벳을 많이 사용합니다.

위에 67,543은 16진수로 나타내면 10,7D7이 됩니다.

2. 진수를 변환하는 방법

진수의 변환을 위해서는 조금 복잡한 절차가 필요합니다.

7,762를 8진수와 16진수로 변환해 보겠습니다.

① 8진수로 변환하기

먼저 자리수를 구합니다.

7,762는 8^4보다는 크고 8^5보다 작으니까 5자리 수입니다.

(자리수 구하기)
7,762 > 8^2 = 64
7,762 > 8^3 = 512
7,762 > 8^4 = 4,096
7,762 < 8^5 = 32,768

그리고나서는 숫자를 8^4 → 8^3 → 8^2 → 8^1 순서로 분해하면 됩니다.

큰수로 나누고 나머지로 다시 나눕니다.

(변환하기)
7,762 ÷ 8^4 = 1(몫) | 3,666(나머지)
3,666(나머지) ÷ 8^3 = 7(몫) | 82(나머지)
82 (나머지) ÷ 8^2 = 1(몫) | 18 (나머지)
18 (나머지) ÷ 8^1 = 2(몫) | 2 (나머지)

(십진수) 7,762는 (8진수) 17,122가 됩니다.

② 16진수로 변환하기

먼저 자리수를 구합니다.

7,762는 16^3보다는 크고 16^4보다 작으니까 4자리 수입니다.

(자리수 구하기)
7,762 > 16^2 = 256
7,762 > 16^3 = 4,096
7,762 < 16^4 = 65,536

그리고나서는 숫자를 16^3 → 16^2 → 16^1 순서로 분해하면 됩니다.

큰수로 나누고 나머지로 다시 나눕니다.

(변환하기)
7,762 ÷ 16^3 = 1(몫) | 3,666(나머지)
3,666(나머지) ÷ 16^2 = E(몫) | 82(나머지)
82 (나머지) ÷ 16^1 = 5(몫) | 2 (나머지)

(십진수) 7,762는 (16진수) 1E52가 됩니다.

3. 진수체계의 사용

항상 십진수만 쓰지는 않는데요.

과거 아시아에서는 나머지가 많은 60진법을 사용해서 무역을 했다고 합니다.

현대에 살아가는 우리도 생각보다 다양한 진수를 사용하고 있습니다.

• 2진수 (Binary System): 0과 1 두 개의 숫자만 사용하는 체계입니다. 컴퓨터에서 데이터를 표현하는 데 주로 사용됩니다. 예를 들어, 101은 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0로 표현됩니다.
• 8진수 (Octal System): 0부터 7까지의 숫자를 사용하는 기수 체계입니다. 주로 컴퓨터 프로그래밍에서 사용되었지만 현재는 비교적 덜 사용됩니다.
• 16진수 (Hexadecimal System): 0부터 9까지의 숫자와 A부터 F까지의 여섯 개의 알파벳을 사용하여 숫자를 표현합니다. 프로그래밍이나 회로 설계, 색상표현등 여러분야에서 자주 사용됩니다.
• 24진수(24 decimal System) : 하루는 24시간으로 표현합니다. 이 경우에는 알파벳을 사용하지 않고 십진법과 동일하게 표기하며 36시간의 경우 1일 12시간으로 자연스럽게 사용합니다.
• 60진수(Sexagesimal) : 대표적으로 분과 초를 나타내는 단위로 시간과 각도에서 사용됩니다. 이 경우에는 알파벳을 사용하지 않고 십진법과 동일하게 표기합니다.

어떤 사건이 있을 때 일어날 수 있는 상황이 n 가지라고 할때 가능한 모든 조합을 경우의 수라고 합니다.

몇가지 상황만 조합만 해도 숫자가 커지기 때문에 일일히 세는 것이 불가능합니다.

이런 경우의 수를 합리적으로 계산하기 위해서 계승이라는 개념이 도입됩니다.

계승은 영어표기인 팩토리얼(Factorial)이라고 부르는 경우가 많습니다.

1. 계승, 팩토리얼(Factorial)의 의미

계승, 팩토리얼(factorial)은 자연수에서 수를 해아려 나가면서 곱하는 개념입니다.

자연수 n이 있을때 1에서 n까지 모든 자연수를 곱하는 것입니다.

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

그리고 0은 자연수가 아니지만 0! = 1로 정의되어있습니다.

곱해지는 개념이라서 수가 늘어날 경우에는 아주 큰 값이 됩니다.

정식으로 나타내는 기호는 파이(Π)를 사용해서 아래와 같이 나타냅니다.

수에 따른 팩토리얼의 값을 기하급수적으로 늘어납니다.

0! = 1

1! = 1

2! = 2 x 1 = 2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

...

7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5,040

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40,320

9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362,880

1, 2, 3 순서로 계산하지 않고 5, 4, 3 ... 처럼 꺼꾸로 들어오는게 좋습니다.

계승의 사용 될때는 큰 수부터 시작해서 들어옵니다.

또 다중계승 같이 복잡한 개념을 이해하기 편합니다.

아래는 다중계승 중 2씩 감소하는 이중계승입니다.

하지만 고등학교 수학등에서는 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 순으로 정렬하기도 합니다.

계승 자체가 확율 통계에서 많이 사용되는 함수고 후반부에 다루어지다 보니 이런 점이 오래 가는 것 같아요.

후반부 과목들도 비중을 두고 검토해 주었으면 하네요.

2. 계승, 팩토리얼(Factorial)의 의미

계승은 현실에서 경우에 수에 해당합니다.

① 순서가 있는 중복이 허용되지 않는 경우가 있을 때 총 발생가능한 경우의 수

경우의 수는 n개 상황 있을 때 모든 조합 가능한 상황의 숫자를 이야기하는 것입니다.

이 경우 n개의 경우가 있을때 r번 뽑는 경우는 아래와 같이 됩니다.

순서가 5장의 카드중에 2장을 뽑는 경우 (4, 3)과 (3,4)를 다른 것으로 보는 경우입니다.

예시로 "10명 중에서 1등 2등 3등이 나오는 경우의 수" 같은 것이 있습니다.

② 순서에 상관없이 중복이 허용되지 않는 경우에는 아래와 같이 서술됩니다.

n이라는 조합에서 k번을 얻어낼 때 가능한 경우의 수입니다.

순서가 5장의 카드중에 2장을 뽑는 경우 (4, 3)과 (3,4)를 같은 것으로 보는 경우입니다.

예시로 "10장 중에서 4장을 뽑는 경우의 수" 같은 것이 있습니다.

③ 중복이 허용되는 경우의 수는 아래와 같이 나타냅니다.

이 때는 중복조합이라고 부릅니다.(순서는 신경쓰지 않습니다.)

예로 7개 중에 4개를 뽑는 경우를 계산해 보겠습니다.

① 순서가 있고 중복이 허용 안 되는 경우

② 순서가 없고 중복이 허용되지 않는 경우

③ 순서가 없고 중복이 허용되는 경우

순서대로 나열해서 규칙을 가지는 숫자들을 수열이라고 합니다.

이 중 가장 대표적인 것은 등차수열과 등비수열입니다.

(등차수열과 등비수열의 개념)

수열이 사용되는 가장 쉬운 예가 바로 우리가 은행에 저축할 때입니다.

1. 저축 예금(한번만 돈을 넣고 이자를 붙이는 방식)

이자를 받기 위해 은행에 돈을 맡기는 행위를 말합니다.

만기를 정하지 않고 그냥 돈을 맡기고 언제든지 찾는 예금을 보통예금이라고 하고,

만기를 정하고 일정 시일에 한번씩 혹은 만기시 딱 한번 이자가 붙는 경우 저축예금이라고 합니다.

저축예금의 이자를 정하는 방법은 보통 단리와 복리가 있습니다.

① 단리예금

기간 중 이자가 한번 정해지만 처음부터 끝까지 변하지 않는 경우입니다.

이자는 그냥 시간에 비례합니다. 처음에 입금한 금액이 초기비용이 되고 이자가 공차가 됩니다. 

이런 단리 예금은 이자가 공차인 등차 수열이라고 할 수 있습니다.

예상하기 쉽게 증가하고 가장 많은 은행 예금이 이와 같은 형태를 가집니다.

② 복리예금

원금에 직전 기간의 이자까지 적용되는 방식입니다.

원금이 계속 늘어나서 이자가 지수적으로 증가합니다.(이자 자체는 몇 %라고 고정이지만 액수가 늘어납니다.)

이런 단리 예금은 이자가 공비인 등비 수열이라고 할 수 있습니다.

이런 복리예금은 시간이 지날 수록 지수적으로 상승합니다.

선택할 수 있다면 복리를 가지는 쪽이 좋지만 리스크가 있는 상품이 아니라면 복리는 잘 하지 않습니다.

예전에는 많았다고 하는데 참 아쉽네요.

2. 적금(남입액을 누적시키는 방식)

예금은 금액을 처음 한번만 저축하고 그 다음부터는 이자만 발생합니다.

하지만 적금은 금액을 계속 입금하는 방식입니다.

보통은 0원에서 한달마다 얼마씩 입금하지만, 처음에 목돈을 넣고 그 이후에 얼마씩 입금하는 방식도 있습니다.

① 단리적금

적금에서 단리는 입금한 금액에만 이자가 붙는 것입니다.(이자에는 이자가 붙지 않음)

그래서 이자가 일단 점점 커지기는 하지만 그건 어디까지나 원금에 증가에 따릅니다.

그런에 적금이 좀 어려운게 첫달에 초기비용과 납입금을 둘다 내느냐 이자는 선불이냐 후불이냐에 따라 조금 변합니다.

이게 혼돈을 줄 수 있는데요. 일일히 다 걱정할 필요는 없습니다.

등차수열과 같은 원리라는 것만 알고 나머지는 계산기에게 맡깁시다.

(등차수열에서 기간별 납입금만 더해졌네요.)

② 복리적금

적금이 복리로 적용되면 상승률이 꽤 높습니다.

또 원금이 계속 느니까 저축속도는 빠릅니다. 사회 초년생이 가장 쉽게 초기자금을 모으는 방법입니다.

이 경우 매월 납입금이 등차수열의 공차로 이자는 등비수열의 공비로 볼 수 있습니다.

즉, 등차수열을 포함하는 등비수열이 됩니다. 좀 복잡한데 아래 공식으로 정리할 수 있습니다.

1. 수열

세상에는 시간이나 상황등에 따라서 변화하는 각종 수치들이 있습니다.
순서에 따라서 수를 배열했을 때 의미가 있는 경우, 이 수들의 모임을 수열이라고 합니다.
수열은 순서, 규칙, 숫자라는 세가지 요소로 이루어져 있습니다.

순서에 맞는 규칙을 지키기만 한다면 중복이 되어도 상관 없습니다.

수열은 크기가 한정되어 있는 경우도 많지만 무한대 혹은 매우 큰수까지 정의되는 경우가 대부분입니다.

수열의 순번이 자연수를 사용한다고 정의가 되는 경우가 많지만 실재 사용할 때는 꼭 그러지는 않습니다.

크기가 무한대이고 순번이 실수로 들어가면 사실상 함수와 개념이 같다고 볼 수 있습니다.

2. 등차수열

연속된 항들의 차이가 같은 경우를 등차수열이라고 합니다.

붙어있는 두 항들 간의 일정한 차이를 공차라고 부르고 첫 번째 항은 시작값이라고 부릅니다.

① 표현식

수열을 정의하는 표현식은 점화식이라고도 합니다.

첫번째항은 어떤 규칙성으로 나타낼 수 없음으로 식이 2개로 표현됩니다.

② 등차수열의 합

수열이 일상생활에 쓰일때는 합계가 아주 중요합니다.

일정하게 증가하는 수는 예상하기 쉽지만 합을 구할때는 공식이 필요합니다.

n개의 항을 가진 등차수열의 합입니다.

3. 등비수열

연속된 항들의 비가 같은 경우, 즉 항에 일정 수를 곱해서 다음항이 되는 경우를 등비수열이라고 합니다.

붙어있는 두 항들 간의 일정한 비율을 공비라고 부릅니다.

등비수열의 경우 증가하는 폭자체가 점점 커지기 때문에 나중에는 엄청나게 커지게 됩니다.

① 표현식

등비수열의 표현식입니다.

② 등비수열의 합

등비수열 같은 경우 금융, 화학, 생물학 실험등 폭넓게 사용되어 자주 쓰는 공식입니다.

물론 요즘 시절에는 다 함수화 되어 있어서 관리 SW들이 쉽게 계산해 줍니다.

n개의 항을 가진 등비수열의 합은 아래와 같습니다.

목차

1. 로그(Log : Logarithm)의 의미

2. 로그(Log)의 성질

3. 로그(Log)의 사용법

4. 로그의 응용 분야 -  데시벨(dB)

수학은 순수한 수에 대한 정리만으로도 가치있다고 할 수 있습니다.

그래도 보통 수학은 각종 현상을 측정하고 분석하는 도구로서 사용됩니다.

수를 표기하는 방식의 하나인 로그로 많은 자연현상을 편리하게 나타낼 수 있습니다.

1. 로그(Log : Logarithm)의 의미

로그는 사용 테크닉이라 정의에 대해서 들으면 조금 낮설고 어렵습니다.

그런데 말이 어려운거지 실제로 어렵지 않아요.

이걸 글로 표현하면, 아래와 같습니다.

로그의 정의(출처 : 위키백과)
로그(log)는 지수 함수의 역함수로, 로가리듬(영어: Logarithm)의 줄임말이다. 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇 번 곱하여야 하는지를 나타낸다고 볼 수 있다.

로그함수는 3가지 요소로 이루어 집니다.

로그의 구성

• f(x) : 로그함수의 결과입니다.
• a : 로그함수의 밑이라고 하고 영어로는 BASE로 일부 교과서에는 "기저"라고 번역합니다.
   - 밑이 e가 되면 자연로그(natural logarithm), 10인 경우를 상용로그(common logarithm)라고 해서 많이 사용됩니다.
•  x : 로그에 적용할 결과입니다.
   - x는 음수(-)일 수가 없고, 양수(0)에 대해서만 적용됩니다.

2. 로그(Log)의 성질

학생들은 암기해야 하여 싫어하지만 사실 이 공식들이 로그를 편하게 만드는 것입니다.

로그는 곱셈을 덧셈으로 바꿀 수 있다. 나누기를 뺄셈으로 바꿀 수 있다. 지수를 상수로 내보낼 수 있다.

이게 바로 가장 큰 특성입니다.

3. 로그(Log)의 사용법

로그를 사용하면 아래처럼 됩니다.

10^3을 1000이라고 나타 낼 수 있고 로그로하면 3이 됩니다.

이것은 LOG로 나타내면 3은 1의 1000배가 됩니다.

일반적인 그래프에서는 큰 값이 키어들면 작은 값들은 변화가 보기 힘듭니다.

하지만 로그 스케일에서는 작은 값부터 큰값까지를 골고루 확인할 수 있습니다.

천체물리학이나 경제학 분야들에서는 큰 수와 작은 수를 동시에 사용해야 하고,

둘다 중요한 경우가 많이 있는데 이럴때는 로그 스케일이 유용합니다.

그러나 급격한 변화를 강조해야 할때는 일반그래프가 좋을 때가 많습니다.

4. 로그의 응용 분야 -  데시벨

여러분야에서 여러가지 용도로 사용되지만 실생활에서 많이 들리는 것이 데시벨(㏈)입니다.

전기나 밝기의 단위로도 체용되지만 소리의 단위로 많이 사용합니다.

P0는 사람이 들을 수 있는 최소소리이고 기준이 됩니다.

로그에다가 10을 곱해준 이 단위는 활용가능성이 높습니다.

예를 들어 실내 소음이 40 ㏈ / 실외 확성기(낮) 60 ㏈ 굴삭기는 105 ㏈ 까지고 사용하려면 허가를 받아야 합니다.

그런데 들을 수 있는 최소소리 P0를 1이라고 하고 로그를 사용하지 않는 단위에서는,

40 ㏈ = 10,000이고 60 ㏈ = 1,000,000이며 105 ㏈ ≒ 32,000,000,000입니다.

이걸 손으로 쓰려면 큰 수의 경우 길고 기억하기도 힘들어서 불편합니다.

거기다가 굴삭기 이야기(32,000,000,000)를 하다가, 생활 소음(1,000,000)이 상대적으로

값이 너무 작아져서 마치 안 중요한 것처럼 느껴질 수 있습니다.

일상 생활의 공간과 공사 현장을 함께 표현할 수 있는 ㏈ 라는 단위가 편리한 것을 알 수 있습니다.

목차

1. 표준정규분포를 보는 이유

2. 표준정규분포를 볼 때 용어설명

3. 표준정규 분포표 보는 법

4. 통계를 표준화 하는 방법

이미 세상에는 좋은 계산기가 많아 복잡한 확률 계산도 얼마든지 할 수 있습니다.

편리한 세상에서 오늘 포스팅할 내용은 몰라도 될지도 모릅니다.

하지만 과거의 계산방식을 공부하는 것은 단순 흥미를 넘어 원리를 알 수 있는 방법이 됩니다.

오늘은 정규분포의 대표인 표준 정규 분포가 왜 있고, 이걸 어떻게 사용하는 알아봅시다.

(정규분포(Normal distribution)의 설명 링크)

1. 표준정규분포를 보는 이유

정규분포를 수학적으로는 복잡해서 직관적으로 이해하는건 어렵습니다.

아주 똑똑한 사람이 아니고서야 뭐가 커진다는지 작아진다는지 이해가 안됩니다.

특히 산포의 분석은 실험, 공정, 제조 현장에 이루어져, 저런 복잡한 방정식 풀고 있을 시간이 없습니다.

그래서 등장한 것이 표준정규분포이고, 방정식은 아래와 같습니다.

그런데 이 방정식도 쉬워보이지는 않습니다. 방법을 좀 알아야 하죠.

표준정규분포를 사용하여 확률분포를 분석하는 방법을 알아보겠습니다.

2. 표준정규분포를 볼 때 용어설명

포스팅이 길어지지만, 먼저 용어 정리를 하겠습니다.

표준정규분포에서 기준이 되는 사건값을 Z라고 하겠습니다.

이때 우리가 관심있는 것은 사건이 일어날 확률 P 입니다.

아래 그래프에서는 -1보다 작은 확률에 관심이 있고, 이걸 P (x ≤ -1)라고 표기합니다.

3. 표준정규 분포표 보는 법

이제 우리가 관심이 있는 확률 현상이 있고, 그 계산이 어렵습니다.

이 때 표준정규분포에 대해서만 먼저 계산해둔 정규 분포표가 있습니다.

표의 그래프 왼쪽에서부터 Z 값에 대한 확률을 표기해 둔 것입니다.

즉 표는 정규 분포에서 Z = 1.00이 되는 값인 0.8413이란 숫자는 아래 회색으로 칠한 구간의 면적이 됩니다.

이건 Z = 1.00보다 낮을 확률이 84.13%라는 의미이기도 합니다.

연습을 많이 할 수록 좋으니까, 예를 하나 더 들어 보겠습니다.

복잡하게 P (-1 ≤ x ≤ 2)의 범위를 잡겠습니다.

표준정규분포는 좌우 대칭이기 때문에 양수인 구간을 구하면 음수인 구간 같습니다.

P (-1 ≤ x ≤ 0 )과 P (0 ≤ x ≤ 2)으로로 나누어 두 값을 더해주면 됩니다.

① 양수구간인 P (0 ≤ x ≤ 2)를 먼저 보겠습니다.

정규 분포표에서는 왼쪽 끝에서부터 되어있어 연산을 해야 합니다.

먼저 P (x ≤ 2) = 0.9772이고 P (x ≤ 0) = 0.5니까,

P (0 ≤ x ≤ 2) = P (x ≤ 2) - P (x ≤ 0) = 0.9772 - 0.5 = 0.4772가 됩니다.

② 같은 방식으로 P (-1 ≤ x ≤ 0)를 계산하겠습니다.

표준정규 분포표에는 음수가 없지만 좌우 대칭임으로 P (0 ≤ x ≤ 1)과 같습니다.

그럼 위와 같은 요령으로 

P (-1 ≤ x ≤ 0) = P (0 ≤ x ≤ 1) =  P (x ≤ 1) - P (x ≤ 0.5) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413

③ P (-1 ≤ x ≤ 2)를 구하기 위해 두 개를 합쳐주면 됩니다.

P (-1 ≤ x ≤ 2) = P (-1 ≤ x ≤ 0 ) + P (0 ≤ x ≤ 2) = 0.4772 + 0.3413 = 0.8185

가 됩니다. 하나하나 푸니까 복잡해 보이지만, 익숙해지면 빠르게 할 수 있어요.

4. 통계를 표준화 하는 방법

세상에는 다양한 통계가 있습니다.

이 통계가 정규분포라면 평균이 0이고 표준편차가 1인 표준정규분포로 변환이 가능합니다.

값에 평균을 빼고 표준편차로 나누면 표준화가 되는데요.

실생활에서 볼 수 있는 예시를 들어보겠습니다.

서울시의 7월 한달의 일간 강수량의 평균은 25.05 ㎜, 표준편차는 1.24입니다.

그렇다면 일간 강수량이 26.00 ㎜ 이하일 확률을 구한다 합시다.

표준화 Z = (값 - 평균) / 표준편차 = (26.00 - 25.05) / 1.24 ≒ 0.77

그럼 표준정규 분포표에서 Z = 0.77을 찾으면 0.7794, 77.94%가 나옵니다.