연립방정식을 푸는 방법, 대입법과 가감법을 사용해서 문제 풀어보는 방법 알아보기.

연립방정식은 2개 이상의 미지수가 있는 방정식이 두 개 이상 있을 때를 말합니다.

특별한 경우가 아니고서는 여러 개의 미지수가 있을 때는 최소한 그와 같은 수의 방정식이 필요합니다.

미지수가 두 개인 가장 간단한 연립방정식은 아래와 같이 나타납니다.

 

연립방정식

 

고차의 연립방정식은 미지수가 4개만 되어도 거의 컴퓨터에게 맡깁니다.

그래도 역시 사람이 푸는 것은 매우 중요합니다.

오늘은 학교에서 배우는 연립방정식을 푸는 방법에 대해서 알아보겠습니다.

 

 

1. 대입법으로 풀어보기

 

대입법은 가장 기본적인 해법입니다.

한 방정식에서 한 변수를 정리해서 다른 방정식에 적용하는 방식입니다.

한번 풀어보도록 하겠습니다.

 

예제

 

예시로 간단한 연립방정식에 대해서 풀어보도록 하겠습니다.

 

① 한 미지수에 대해서 정리하기

 

예제의 위에 식으로 x를 y로 정리하려면 양변에 y를 더하면 됩니다.

 

x에 대해서 정리하기

 

② 정리한 것을 다른 식에 적용하기

 

그럼 x 에 대해서 정리가 되는데 이 식을 그대로 아래에 적용합니다.

미지수가 1개 짜리 방정식임으로 쉽게 y 값에 대해서 알아낼 수 있습니다.

 

y=3이 나왔습니다

 

③ 얻은 값으로 다른 미지수 찾기

 

그럼 위든 아래든 쉬운 식에 y=3을 대입합니다.

그럼 x = 4를 얻을 수 있습니다.

이렇게 한 미지수로 정리해서 풀어나가는 방식을 대입법이라고 합니다.

현실에서도 논리적으로 많이 사용하는 방식인 것 같습니다.

 

 

2. 가감법으로 풀어보기

 

수학문제를 풀때는 가감법을 더 많이 사용합니다.

대입법을 수가 복잡하게 나열 되었을 때는 못쓸 때도 있고 계산이 더 복잡할 경우가 있습니다.

 

예제 공식

 

가감법의 경우 두 미지수 중 하나를 빼서 없애야 합니다.

이번에는 x를 제거하도록 합시다.

 

① 위아래의 계수 맞추기

 

위 아래식의 x의 계수를 똑같이 만들어야 합니다.

두 식의 계수가 2와 3인데 최소 공배수인 6으로 만들도록 하겠습니다.

 

위아래 식 맞추기

 

위의 식은 3을 곱하고, 아래식은 2를 곱합니다.

 

② 두 식을 빼기

 

두 식을 빼면 x는 없어집니다.

y만 남은 간단한 형태가 되어 y를 쉽게 계산할 수 있습니다.

 

y만 남습니다.

 

이 방법으로 y = 3이 되었음을 찾았습니다.

 

③ 남은 하나의 계수 구하기

 

y = 3인 것을 알고 있기 때문에 x는 쉽게 구할 수 있습니다.

아무 식에나 y를 대입하면 x = 7이 됩니다.

 

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수학적으로 푸는 방법을 정리했습니다.

상황이 없고 수식을 계산만할 때는 그저 기계적이라는 생각을 버릴 수 없습니다.

하지만 이 연립방정식은 상당히 논리적인 상황을 압죽하고 있습니다.

 

과학연구에서는 항상 완벽하게 관측이 가능한 것이 아닙니다.

예를 들어 완전 밀패하고 진공상태에서 에너지를 가해서 물체는 랜덤하게 만들어진다고 보겠습니다.

첫번째 실험에서는 A 화합물 2개와 B 화합물 3개를 만들어 질 때 14 kcal를 사용해서 만들어졌고

30 kcal를 가했더니 A 화합물 7개와 B 화합물 1개가 만들어졌습니다.

 

연립방정식

 

이런 연립방정식이 하나 만들어지고 A = 4 kcal, B = 2 kcal인 결과를 얻어냈습니다.

현장에선 엄청나게 많은 양의 변수가 가해지고 복잡한 실험을 해야합니다.

물론 컴퓨터가 많은 것을 해주지만, 수학적인 개념을 알고 있어야 효율적인 결과를 낼 수 있습니다.