연립 방정식을 행렬로 바꿔 본 다음 행렬을 통해서 문제를 풀어봅시다(좀 더 큰 연립방정식을 푸는 방법)

목차

1. 연립방정식을 행렬 만들고 소거법으로 풀기

2. 역행렬로 연립방정식 풀기

 

연립방정식을 푸는 방법, 대입법과 가감법을 사용해서 문제 풀어보는 방법 알아보기

 

수학적으로 문제를 풀때는 방정식의 형식을 이용하고는 합니다.

가장 기본적으로 연립방정식을 푸는 법을 위에 포트팅에 작성했습니다.

사실 일단 기본적인 방법만 알고 컴퓨터로 구해도 충분합니다.

그래도 조금 더 복잡한 연립방정식을 푸는 법을 알아보도록 하겠습니다.

 

 

1. 연립방정식을 행렬 만들고 소거법으로 풀기

 

모든 연립방정식은 행렬로 나타낼 수 있습니다.

쉽게 모든 계수는 숫자로 하고 미지수는 한개의 열을 가지고 있는 행렬로 나타냅니다.

이런 식으로 아주 많은 계수도 나타낼 수 있고 컴퓨터에 데이터를 넣기도 편해집니다.

 

연립방정식을 행렬로 나타내기

 

연립방정식이 행렬 A × (x,y,z) = B의 형식으로 만들었습니다.

이제 소거법을 적용해 봅니다.

 

① 한개의 미지수의 계수를 모두 똑같이 만듭니다.

 

위의 행렬식에서 1행에 x의 계수는 2입니다.

2행에 2/3을 곱하고 3행에는 1/2를 곱합니다.

그럼 첫번째 열, x의 미지수가 똑같아 집니다.

 

x 숫자 맞추기

 

 

 

② 1행과 2행, 2행과 3행을 빼서 x자리를 0으로 만듭니다.

 

아래 두 행에는 x의 계수가 0이 됩니다.

이제 밑에 두개를 가지고 같은 작업을 반복해 줍니다.

 

두개의 행이 x가 0이 됩니다.

 

 

③ 이제 y 자리도 0으로 만들어 줍니다.

 

아래쪽 두개의 행을 연산하면 y도 0으로 만들 수 있습니다.

z = 4라는 것을 알아냈고, 그걸 위에 적용하고 적용하면, x  = -2, y = 1 가 됩니다.

 

이제 정리가 됩니다.

 

이 방법은 반복 작업임으로 코드로 작성하기 좋은 강력한 알고리즘입니다.미지수가 100개라고해도 데이터만 입력하면 다 풀어줄 것입니다.

그리고 직접 손으로 풀어보는 것은 언제나 추천합니다.

원리를 아는데 직접 해보는 것보다 나은 것은 없고 컴퓨터가 어떻게 계산을 하는지 느낄 수 있습니다.

그리고 행렬은 미지수가 4개, 5개 짜리 계산을 손으로 해도 실수를 방지할 수 있는 방법입니다.

아마 예전에 모든것을 종이에 써서 계산할 때는 이만한 것이 없을 것 같습니다.

 

 

2. 역행렬로 연립방정식 풀기

 

연립방정식에서 행렬로 이용하는데 가장 중요한 것은 해를 찾을 수 있기 때문입니다.

연립방정식이 행렬 형식으로 만들면, 아래처럼 표현 가능합니다.

 

행렬로 정리하기

 

A의 역행렬인 A^-1를 구할 수 있다면 해를 구할 수가 있다는 뜻입니다.

그러나 역행렬을 구하는 그 방법자체가 어렵습니다.

역행렬 구하는 방법은 따로 포스팅을 링크합니다.

(행렬연산에서 필수적인 단위행렬과 역행렬에 대해서 알아보고 엑셀 함수 MUNIT와 MINVERSE로 계산하기)

 

조금 복잡한 행렬입니다.

 

이걸 엑셀의 MINVERSE 함수를 사용해서 역행렬을 얻었습니다.

컴퓨터를 사용하면 이런건 아주 쉬운 수준입니다.

 

역행렬 구하기

 

이걸 풀어보면 x = 7, y = -2, z = 4 라는 결과를 쉽게 구했습니다.

즉 역행렬을 계산할 도구가 있다면 큰 연립방정식을 구할 수 있다는 겁니다.

 

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컴퓨터로 푸는 것을 너무 싫어하거나 너무 의존하는 것 둘다 좋지 않습니다.

한번 원리를 이해했다하더라도 그리고 진도가 충분히 나가 높은 수준의 기술을 다루는 분들도 짬짬히

이런 기초적인 원리를 공부할 것을 추천합니다.

처음 배울 때는 잘 모르지만 오히려 학문의 기초에는 수많은 아이디어가 농축되는 경우가 많습니다.

어느 이상의 레벨을 달성한 사람이 그걸 보면 도움이 될 수도 있겠죠.

오늘 포스팅은 초보적인 분들은 물론 전문적인 분들도 한번씩 보고 생각하는 글이 되었으면 합니다.