여인자 전개를 통해 행렬식(determinant)을 구하는 방법 과 엑셀(EXCEL)에서 MDETERM 함수로 행렬식 계산하기

목차

1. 행렬식(determinant)

2. 소행렬(Minor matrix)로 쪼개기

3. 여인자(cofactor)와 행렬식

4. 엑셀 함수 MDETERM 로 계산하기

 

 

수학에서는 여러 개의 차원이나 대상, 숫자가 규칙성 있게 정렬되고 연산되기 위해 행렬을 사용합니다.

행렬은 숫자들이 직사각형 모양으로 나열된 상태를 말하고 가로-행와 새로-열로 구성되어 있습니다. 

 

일반적인 행렬

 

 

1. 행렬식(determinant)

 

행렬식은 행과 열의 수가 같은 정사각 행렬의 경우에만 적용이됩니다.

행렬식(determinant)는 정사각 행렬의 특성을 보여주는 숫자로 다양한 연산에 사용됩니다.

연립방정식에서 수들의 성질을 보여주는 수로 determinant( : 결정하다)의 의미를 가지는 행렬식이 만들어졌습니다.

 

기본적인 행렬식 det

 

행렬식의 값이 0이면 해당 배열의 역행렬을 만들 수 없으며, 연립방적식의 해도 구할 수 없습니다.

역사적으로는 행렬식이 행렬보다 더 빨리 만들어졌다고 하네요.

2 x 2 행렬의 행렬식은 아래와 같이 정의됩니다.

 

행렬식

 

문제는 이거보다 긴 행렬의 행렬식을 표현할 때입니다.

정말 다양한 방법으로 행렬식이 계산되지만 오늘은 여인자 전개(cofactor expansion)를 알아보겠습니다.

 

 

2. 소행렬(Minor matrix)로 쪼개기

 

먼저 부분행렬 혹은 소행렬이라고 불리는 행렬 쪼개기를 해야합니다.

정사각 행렬은 또 다른 정사각행렬로 쪼개질 수 있습니다.

아래 3 x 3 행렬의 부분 행렬 m₁₁은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

단위행렬

 

그럼 이번에는 설명을 쉽게 하기 위해 용어을 통일하겠습니다.

1행 부분행렬은 1행을 제외하는 3개의 행렬을 이야기 합니다.

1행 부분행렬 m₁₁, m₁₂, m₁₃은 아래와 같습니다.

제외되는 값의 중심을 부분행렬의 원소로 삼습니다.

 

1행 부분행렬

 

그리고 2행 부분행렬, 3행 부분행렬도 이렇게 정리할 수 있습니다.

 

< 2행 부분행렬 >

m₂₁, m₂₂, m₂₃

2행 부분행렬

 

< 3행 부분행렬 >

m₃₁, m₃₂, m₃₃

3행 부분행렬

 

 

3. 여인자(cofactor)와 행렬식

 

여인자는 부분행렬의 행렬식의 값에 행렬에 따라서 -1를 곱한 값입니다.

여인자

 

한행에 대한 여인자를 각각의 원소와 곱해서 모두 더하는 것을 여인자 전개(cofactor expansion)라고 합니다.

이 여인자 전개 값이 바로 행렬식 값이 됩니다.

 

여인자 전개

 

Σ도 들어가고 바로 알기 어려우니 예로 하나의 행렬식에 대해서 직접 계산을 해보겠습니다.

아래 행렬 A에 대한 행렬식의 값은 -7로 계산됩니다.

 

행렬식 계산하기

 

 

4. 엑셀 함수 MDETERM 로 계산하기

 

사람의 손으로 하기 어려운 계산이라는 것은 짐작하실 껍니다.

3 x 3 행렬까지라면 모르겠지만 4 x 4 행렬은 3 x 3의 부분행렬으로 나누고, 

다시 그 3 x 3의 행렬식을 구해야 하니 복잡도가 엄청나게 올라 갑니다.

 

하지만 다행히도 이런 계산은 컴퓨터에게는 오히려 쉽습니다.

엑셀에서도 MDETERM 함수를 제공합니다.

 

MDETERM(Array) : 행렬의 행렬식을 구합니다.

• 행렬은 정사각행렬이여야 하며 문자나 빈칸을 포함하면 안됩니다.
• 엑셀의 정밀도는 소수점 16자리로 많은 계산이 반복되면서 발생하는 에러가 있을 수 있습니다.
• 정말 큰 행렬에 대해서는 전문 수학 Tool을 사용하거나 직접 코딩하는 쪽을 권장합니다.

 

< 함수 사용하기 >

사용예

 

함수를 사용하는 것은 쉽고 빠릅니다.

6 x 6의 행렬도 아주 빠르게 행렬식을 계산해 줍니다.