행렬연산에서 필수적인 단위행렬과 역행렬에 대해서 알아보고 엑셀 함수 MUNIT와 MINVERSE로 계산하기

곱셈연산에서는 1을 곱하면 그 숫자를 그대로 돌려줍니다.

이 때 1을 곱셈의 항등원이라고 하고 곱해서 1이 되게 만드는 값을 역원이라고 합니다.

실수에서는 역원은 역수가 됨으로 쉽게 구할 수 있습니다.

 

곱셈의 성질

 

하지만 행렬은 이 과정이 매우 복잡합니다.

행렬에서 곱셈을 컨트롤 하는 방법을 알아보겠습니다.

 

목차

1. 단위행렬(Unit Matrix)

2. 역행렬(inverse matrix)의 정의

3. 엑셀로 구하는 MUNIT 함수와 MINVERSE 함수

 

 

 

1. 단위행렬(Unit Matrix)

 

행렬의 곱셈의 항등원을 단위행렬이라고 합니다.

단위행렬은 흔히 I로 표기됩니다.

 

단위행렬

 

정사각행렬의 크기는 달라져도 모양은 모두 똑같습니다.

대각선 방향으로 1이 있고, 나머지는 모두 0입니다.

사이즈에 따라 무한히 커질 수 있습니다.

 

행렬의 크기에 따른 단위행렬

 

변환하거나 전환해도 계속 단위행렬로 남아 있습니다.

1로 정의되는 스칼라 값이 변할 수는 있지만 모양은 유지됩니다.

 

 

2. 역행렬(inverse matrix)의 정의

 

곱해서 단위행렬이 되는 행렬을 역행렬이라고 합니다.

역행렬이 존재하기 위해서는 정사각행렬이 여야 하고, 행렬식은 0이 아니여야 합니다.

행렬식이 0이 아닌 상태를 가역(invertible)이라고 합니다.

 

역행렬의 정의

 

< 2 x 2 행렬의 역행렬 >

 

2x2 행렬은 정사각 행렬 중 가장 작은만큼 구하기가 쉽습니다.

비교적 그렇다는 겁니다.

학생분들은 일단은 이걸 통채로 외워버리는 쪽이 빠릅니다.

 

역행렬

 

 

< 3 x 3 이상의 크기의 역행렬 >

 

3 x 3 이상일 때는 본격적으로 복잡해집니다.

행렬의 연산은 복잡도가 있고 다양한 알고리즘을 통해서 역행렬을 구할 수 있습니다.

그 중에 하나를 알아보도록 하겠습니다.

사전에 행렬식과 여인자(cofactor)를 계산하는 방법을 알아야 합니다.

이 것도 꽤 분량이 기니까 아래 포스팅에 링크를 올립니다.

여인자 전개를 통해 행렬식(determinant)을 구하는 방법 과 엑셀(EXCEL)에서 MDETERM 함수로 행렬식 계산하기

 

행렬식(=det)와 여인자(=C_ij)를 알고 있다면 역행렬은 아래와 같이 적용할 수 있습니다.

adj는 여인자(=C_ij) 행렬의 전치행렬입니다.

 

역행렬 구하기

 

간단해 보이지만 막상 계산하려면 엉? 하는 식이 나왔습니다.

이걸 풀어서 쓰면 굉장히 길어지는데요.

3 x 3 행렬에 대해서 풀어쓰면 아래와 같이 역행렬이 구해집니다.

 

역행렬 구하기

 

공부하는 분들은 규칙이 이해가 안되면 그냥 한번 따라가 보시면 됩니다.

하지만 그냥 일반인들은 식을 한번 본거에 만족하고 넘어가도 됩니다.

왜냐면 지금은 다양한 수학 툴이 알고리즘으로 제공하기 때문입니다.

 

 

3. 엑셀로 구하는 MUNIT 함수와 MINVERSE 함수

 

가장 대중적인 프로그램 중 하는 엑셀입니다.

엑셀에서 복잡한 행렬연산을 실행하는 함수를 제공합니다.

 

MUNIT(dimension) : 단위행렬을 만들어줍니다.

• dimension : 단위행렬의 크기(차원)입니다. 1 이상의 정수를 입력해야 합니다.
• 오피스 365 이상의 버전은 배열의 수만큼의 칸에 자동으로 입력하지만 그 이전 버전은 입력해야 합니다.

MUNIT 함수

 

사용이 간단한 함수입니다.

 

 

MINVERSE(array) : 함수의 역함수를 구합니다.

• array : 함수의 범위입니다. 행렬로 해석될 수 있는 배열로 입력되어야 합니다.
• 같은 셀 범위 혹은 {1,2,3;4,5,6;7,8,9}와 같은 배열 상수를 입력할 수 있습니다.
• 범위내의 셀이 비어있거나 텍스트로 입력되면 #VALUE 에러를 반환합니다.
• 범위를 입력 받아서 범위를 출력하는 함수입니다.
  역시 오피스 365 이상에서는 자동으로 배열을 반환하지만 그이전에는 범위를 선택해야 합니다.

함수 사용법

 

조금 사용이 어렵기는 하지만 복잡한 계산이 이렇게 편해집니다.