1. 수열

세상에는 시간이나 상황등에 따라서 변화하는 각종 수치들이 있습니다.
순서에 따라서 수를 배열했을 때 의미가 있는 경우, 이 수들의 모임을 수열이라고 합니다.
수열은 순서, 규칙, 숫자라는 세가지 요소로 이루어져 있습니다.

순서에 맞는 규칙을 지키기만 한다면 중복이 되어도 상관 없습니다.

수열은 크기가 한정되어 있는 경우도 많지만 무한대 혹은 매우 큰수까지 정의되는 경우가 대부분입니다.

수열의 순번이 자연수를 사용한다고 정의가 되는 경우가 많지만 실재 사용할 때는 꼭 그러지는 않습니다.

크기가 무한대이고 순번이 실수로 들어가면 사실상 함수와 개념이 같다고 볼 수 있습니다.

2. 등차수열

연속된 항들의 차이가 같은 경우를 등차수열이라고 합니다.

붙어있는 두 항들 간의 일정한 차이를 공차라고 부르고 첫 번째 항은 시작값이라고 부릅니다.

① 표현식

수열을 정의하는 표현식은 점화식이라고도 합니다.

첫번째항은 어떤 규칙성으로 나타낼 수 없음으로 식이 2개로 표현됩니다.

② 등차수열의 합

수열이 일상생활에 쓰일때는 합계가 아주 중요합니다.

일정하게 증가하는 수는 예상하기 쉽지만 합을 구할때는 공식이 필요합니다.

n개의 항을 가진 등차수열의 합입니다.

3. 등비수열

연속된 항들의 비가 같은 경우, 즉 항에 일정 수를 곱해서 다음항이 되는 경우를 등비수열이라고 합니다.

붙어있는 두 항들 간의 일정한 비율을 공비라고 부릅니다.

등비수열의 경우 증가하는 폭자체가 점점 커지기 때문에 나중에는 엄청나게 커지게 됩니다.

① 표현식

등비수열의 표현식입니다.

② 등비수열의 합

등비수열 같은 경우 금융, 화학, 생물학 실험등 폭넓게 사용되어 자주 쓰는 공식입니다.

물론 요즘 시절에는 다 함수화 되어 있어서 관리 SW들이 쉽게 계산해 줍니다.

n개의 항을 가진 등비수열의 합은 아래와 같습니다.

목차

1. 로그(Log : Logarithm)의 의미

2. 로그(Log)의 성질

3. 로그(Log)의 사용법

4. 로그의 응용 분야 -  데시벨(dB)

수학은 순수한 수에 대한 정리만으로도 가치있다고 할 수 있습니다.

그래도 보통 수학은 각종 현상을 측정하고 분석하는 도구로서 사용됩니다.

수를 표기하는 방식의 하나인 로그로 많은 자연현상을 편리하게 나타낼 수 있습니다.

1. 로그(Log : Logarithm)의 의미

로그는 사용 테크닉이라 정의에 대해서 들으면 조금 낮설고 어렵습니다.

그런데 말이 어려운거지 실제로 어렵지 않아요.

이걸 글로 표현하면, 아래와 같습니다.

로그의 정의(출처 : 위키백과)
로그(log)는 지수 함수의 역함수로, 로가리듬(영어: Logarithm)의 줄임말이다. 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇 번 곱하여야 하는지를 나타낸다고 볼 수 있다.

로그함수는 3가지 요소로 이루어 집니다.

로그의 구성

• f(x) : 로그함수의 결과입니다.
• a : 로그함수의 밑이라고 하고 영어로는 BASE로 일부 교과서에는 "기저"라고 번역합니다.
   - 밑이 e가 되면 자연로그(natural logarithm), 10인 경우를 상용로그(common logarithm)라고 해서 많이 사용됩니다.
•  x : 로그에 적용할 결과입니다.
   - x는 음수(-)일 수가 없고, 양수(0)에 대해서만 적용됩니다.

2. 로그(Log)의 성질

학생들은 암기해야 하여 싫어하지만 사실 이 공식들이 로그를 편하게 만드는 것입니다.

• 로그는 곱셈을 덧셈으로 바꿀 수 있다.
• 나누기를 뺄셈으로 바꿀 수 있다.
• 지수를 상수로 내보낼 수 있다.

특히 지수를 상수로 보내는 것 이게 바로 가장 큰 특성입니다.

3. 로그(Log)의 사용법

지수를 상수로 보내는 특성에 대해서 알아보면, 로그를 사용하면 아래처럼 됩니다.

10^3을 1000이라고 나타 낼 수 있고 로그로하면 3이 됩니다.

이것은 LOG로 나타내면 3은 1의 1000배가 된다라고 표현됩니다.

이게 어떻게 활용되냐면 아래 지수함수 그래프의 일반형과 로그 스케일로 그린 그래프를 보겠습니다.

< 로그 활용의 예 : 지수함수 그래프 >

지수함수의 특징은 값이 점점 더 커지는 것입니다.

초기 변화량 대비 후반의 변화량이 매우 크게 됩니다.

"일반적인 숫자로 만든 그래프"에서는 큰 값 때문에 작은 값들은 구간 변화가 보기 힘듭니다.

위에서는 X축이 1~2구간에서 값이 0~1000이 됩니다. 나름 1000배의 변화지만 전체 스케일에 의해 보이지 않습니다.

하지만 로그 스케일그래프에서는 작은 값부터 큰 값까지를 상대적인 변화를 골고루 확인할 수 있습니다.

천체물리학이나 경제학 분야들에서는 큰 수와 작은 수를 동시에 사용해야 하고,

작은 값 변화와 큰 값 변화가 둘 다 중요한 경우가 많이 있는데 이럴때는 로그 스케일이 유용합니다.

그러나 급격한 변화를 강조해야 할때는 일반그래프가 좋을 때가 많습니다.

상황이나 보여주고 싶은 현상에 따라서 그래프를 선택해서 사용하면 됩니다.

4. 로그의 응용 분야 -  데시벨

로그는 여러분야에서 여러가지 용도로 사용되지만 실생활에서 많이 쓰이는 것 중 하나는 데시벨(㏈) 단위 입니다.

전기나 밝기의 단위로도 체용되지만 소리의 단위로 많이 사용합니다.

P0는 사람이 들을 수 있는 최소소리이고 기준이 됩니다.

로그에다가 10을 곱해준 이 단위는 활용가능성이 높습니다.

예를 들어 실내 소음이 40 ㏈ / 실외 확성기(낮) 60 ㏈ 굴삭기는 105 ㏈ 까지고 사용하려면 허가를 받아야 합니다.

그런데 들을 수 있는 최소소리 P0를 1이라고 하고 로그를 사용하지 않는 단위에서는,

40 ㏈ = 10,000이고 60 ㏈ = 1,000,000이며 105 ㏈ ≒ 32,000,000,000입니다.

이걸 손으로 쓰려면 큰 수의 경우 길고 기억하기도 힘들어서 불편합니다.

거기다가 굴삭기 이야기(32,000,000,000)를 하다가, 생활 소음(1,000,000)이 상대적으로

값이 너무 작아져서 마치 안 중요한 것처럼 느껴질 수 있습니다.

일상 생활의 공간과 공사 현장을 함께 표현할 수 있는 ㏈ 라는 단위가 편리한 것을 알 수 있습니다.

목차

1. 표준정규분포를 보는 이유

2. 표준정규분포를 볼 때 용어설명

3. 표준정규 분포표 보는 법

4. 통계를 표준화 하는 방법

이미 세상에는 좋은 계산기가 많아 복잡한 확률 계산도 얼마든지 할 수 있습니다.

편리한 세상에서 오늘 포스팅할 내용은 몰라도 될지도 모릅니다.

하지만 과거의 계산방식을 공부하는 것은 단순 흥미를 넘어 원리를 알 수 있는 방법이 됩니다.

오늘은 정규분포의 대표인 표준 정규 분포가 왜 있고, 이걸 어떻게 사용하는 알아봅시다.

(정규분포(Normal distribution)의 설명 링크)

1. 표준정규분포를 보는 이유

정규분포를 수학적으로는 복잡해서 직관적으로 이해하는건 어렵습니다.

아주 똑똑한 사람이 아니고서야 뭐가 커진다는지 작아진다는지 이해가 안됩니다.

특히 산포의 분석은 실험, 공정, 제조 현장에 이루어져, 저런 복잡한 방정식 풀고 있을 시간이 없습니다.

그래서 등장한 것이 표준정규분포이고, 방정식은 아래와 같습니다.

그런데 이 방정식도 쉬워보이지는 않습니다. 방법을 좀 알아야 하죠.

표준정규분포를 사용하여 확률분포를 분석하는 방법을 알아보겠습니다.

2. 표준정규분포를 볼 때 용어설명

포스팅이 길어지지만, 먼저 용어 정리를 하겠습니다.

표준정규분포에서 기준이 되는 사건값을 Z라고 하겠습니다.

이때 우리가 관심있는 것은 사건이 일어날 확률 P 입니다.

아래 그래프에서는 -1보다 작은 확률에 관심이 있고, 이걸 P (x ≤ -1)라고 표기합니다.

3. 표준정규 분포표 보는 법

이제 우리가 관심이 있는 확률 현상이 있고, 그 계산이 어렵습니다.

이 때 표준정규분포에 대해서만 먼저 계산해둔 정규 분포표가 있습니다.

표의 그래프 왼쪽에서부터 Z 값에 대한 확률을 표기해 둔 것입니다.

즉 표는 정규 분포에서 Z = 1.00이 되는 값인 0.8413이란 숫자는 아래 회색으로 칠한 구간의 면적이 됩니다.

이건 Z = 1.00보다 낮을 확률이 84.13%라는 의미이기도 합니다.

연습을 많이 할 수록 좋으니까, 예를 하나 더 들어 보겠습니다.

복잡하게 P (-1 ≤ x ≤ 2)의 범위를 잡겠습니다.

표준정규분포는 좌우 대칭이기 때문에 양수인 구간을 구하면 음수인 구간 같습니다.

P (-1 ≤ x ≤ 0 )과 P (0 ≤ x ≤ 2)으로로 나누어 두 값을 더해주면 됩니다.

① 양수구간인 P (0 ≤ x ≤ 2)를 먼저 보겠습니다.

정규 분포표에서는 왼쪽 끝에서부터 되어있어 연산을 해야 합니다.

먼저 P (x ≤ 2) = 0.9772이고 P (x ≤ 0) = 0.5니까,

P (0 ≤ x ≤ 2) = P (x ≤ 2) - P (x ≤ 0) = 0.9772 - 0.5 = 0.4772가 됩니다.

② 같은 방식으로 P (-1 ≤ x ≤ 0)를 계산하겠습니다.

표준정규 분포표에는 음수가 없지만 좌우 대칭임으로 P (0 ≤ x ≤ 1)과 같습니다.

그럼 위와 같은 요령으로 

P (-1 ≤ x ≤ 0) = P (0 ≤ x ≤ 1) =  P (x ≤ 1) - P (x ≤ 0.5) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413

③ P (-1 ≤ x ≤ 2)를 구하기 위해 두 개를 합쳐주면 됩니다.

P (-1 ≤ x ≤ 2) = P (-1 ≤ x ≤ 0 ) + P (0 ≤ x ≤ 2) = 0.4772 + 0.3413 = 0.8185

가 됩니다. 하나하나 푸니까 복잡해 보이지만, 익숙해지면 빠르게 할 수 있어요.

4. 통계를 표준화 하는 방법

세상에는 다양한 통계가 있습니다.

이 통계가 정규분포라면 평균이 0이고 표준편차가 1인 표준정규분포로 변환이 가능합니다.

값에 평균을 빼고 표준편차로 나누면 표준화가 되는데요.

실생활에서 볼 수 있는 예시를 들어보겠습니다.

서울시의 7월 한달의 일간 강수량의 평균은 25.05 ㎜, 표준편차는 1.24입니다.

그렇다면 일간 강수량이 26.00 ㎜ 이하일 확률을 구한다 합시다.

표준화 Z = (값 - 평균) / 표준편차 = (26.00 - 25.05) / 1.24 ≒ 0.77

그럼 표준정규 분포표에서 Z = 0.77을 찾으면 0.7794, 77.94%가 나옵니다.

1. 정규분포의 의미

정규분포는
 - 도수 분포 곡선이 평균값을 중앙으로 하여 좌우 대칭인 종 모양을 이루는 분포의 하나로 기댓값, 최빈값, 중앙값이 모두 같다.

어려운 통계학 운운하지 않아도 보통 자주 발생하는 기대되는 현상이 있고 거기서 멀면 드믄일이라고 생각합니다.

기차가 정시에서 1분 늦으면 그렇구나 하지만, 10분 늦으면 이상하다고 생각하는 것 처럼요.

이걸 통계적으로 나타낸 정규분포는 평균을 중심에서 멀수로 발생빈도가 점점 작아지는 형태로 되어있습니다.

그래서 자연현상을 잘 표현한 이상적인 확률 모형이라고 합니다.

예시) 사람들의 키, 몸무게, 온도, 소리등등 대부분 관측해서 수로 측정하는 현상들

정규 분포 F(x)는 아래와 같이 정의 됩니다.

σ : 표준편차, x_avg : 평균

식은 복잡해 보이지만 변수는 평균과 표준편차만으로 정리가 되어있습니다.

나머지 상수들은 정규분포의 모양을 나타내고 평균이 어디있냐? 표준편차가 얼마냐 크냐?를 정리한 식입니다.
정규분포를 이룰때는 N(평균, 표준편차^2)라는 식으로 표기를 합니다.
이 정규분포를 이르는 식을 의미하는 가우시안 분포라는 말은 정규분포와 같은 말입니다.

정규분포는 평균이 이동하면 전체적으로 그래프가 이동하고, 표준편차가 이동하면 그래프가 퍼지게 됩니다.

그래서 평균과 표준분포에 따라 모양이 결정됩니다.

2. 정규분포의 성질

정규분포는 구간별 빈도수를 보여주는데 이 구간의 면적이 사건이 일어날 확률입니다.

그래프의 면적을 구할 때는 해당 범위를 적분하면 확률을 알 수 있습니다.
정규분포의 -∞에서 ∞까지를 모두 적분하면 1, 즉 100%가 나오고 특정구간의 면적을 구하면 그 구간을 알수있습니다.

평균을 기준으로 표준편차의 몇배만큼의 면적을 확보하는지가 중요합니다.
이것을 산포의 σ(시그마) 수준이라고 말하고, 6 σ를 확보하는 SIX Sigma가 잘 알려져 있습니다.
그런데 이렇게 복잡한 식을 적분해서 값을 뽑으려면야 아무래도 복잡해 집니다.
요즘에야 좋은 앱이 많아서 계산도 다 해주지만 표준화라는 방법도 있으니 알아봅시다.

3. 표준화 - 표준 정규 분포

표준정규 분포는 정규분포의 하나로 평균은 0, 표준편차가 1인 상태를 의미합니다.
아래와 같이 표기합니다.

이 표준정규분포를 대상으로 어려운 확률 계산등을 미리 해두면 다른 정규분포를 파악할수 있습니다.

표준편차 배수와 평균을 이동시켜서 표준정규분포 모양으로 만드는 것을 표준화라고 부릅니다.

표준정규분포에 대해서 z값에 따라 계산해둔 테이블이 존재하니 다른 정규분포도 쉽게 대략적인 확률을 알 수 있습니다.

표준정규분포에 대해서도 포스팅 해 두었으니 관심있으시면 이어서 봐주세요.

표준 정규 분포(Standard Normal distribution) 사용하는 법, 산포를 표준화하여 확률을 구하는 방법을 알아보자

목차

1. 표준오차(Sampling Error)의 뜻

2. 표준오차 계산하기

3. 표본오차 - 못 쓰는 데이터란

현대인들은 통계라는 지표를 이용해 살아갑니다.

국가나 대기업의 전문가들이 운영하는 거창한 규모의 통계학부터, 동내 과일가계 아저씨가 자신의 경험으로 이번달 매출이 얼마일꺼라고 예상하는 것까지 모두 통계입니다.

이렇게 자주 사용하는 통계는 만능일 것 같지만 오차라는 문제가 있습니다.

그런 오차조차 예상하려는 노력으로 표준오차라는 개념이 있습니다.

표준오차에 대해서 알아보고 어떻게 계산하는지, 어떻게 사용하는지 알아보겠습니다.

1. 표준오차(Sampling Error)의 뜻

• 통계의 대상이 되는 모든 집단을 조사하지 못하고 일부만 조사했을 때 (샘플링 했을때), 조사한 표본을 분석해서 전체를 예상한 오차입니다.
• 조사한 대상이 많을 수록, 조사한 대상의 표준편차가 작을 수록 정밀해 집니다.
• 모집단 = 전체집단, 표본집단 = 모집단의 일부로 조사당한 집단
• 오차란 "전체집단 = 모집단의 평균"과 "조사한 일부집단 = 표본집단의 평균"의 차이입니다.

통계학에서 이 오차를 계산하는 공식이 있습니다.

"오차를 계산한다"는 것은 "이번 조사가 이 정도 불확실 하다"라고 보면 됩니다.

표준편차를 시료의 개수에 제곱근으로 나눈 공식입니다.
편차가 넓은 집단은 자료를 모을 때도 오차가 커지고, 조사한 집단의 수가 많으면 오차가 작아집니다.
그런 면에서는 합리적인 공식이라고 볼 수 있습니다.
엑셀에서는 별도의 함수는 없고, "표준편차 / 표본수"로 직접 계산해야 합니다.

=STDEV.S(범위) / SQRT(COUNT(범위))

2. 표준오차 계산하기

전체가 1000개가 있을 때 50개만 조사했다고 하겠습니다.

모집단의 평균과 표본집단의 오차는 아래 그림처럼 됩니다.

보통 모집단을 모르니까 평소에는 주황색 그래프만 얻을 수 있습니다.

조사한 표본집단의 데이터만으로 표준오차를 계산할 수 있고, "0.126"이 나옵니다.

이 때 실제로 (모집단의 평균 -0.051) - (표본집단의 평균 0.093) = 0.144 입니다.

모집단의 평균을 모른다고해도 표준오차를 계산해서 예상한 것과 거의 비슷합니다.

아래 표 처럼 또 다시 이렇게 50개씩 조사를 매달 했다고 합니다.

그때마다 조사 데이터가 달라지지만, 어느정도 오차 내에서 분포하고 있는 것이 보이시나요?

매번 평균은 달라져도 표준오차는 유사한 수준이고, 모집단과의 차이가 일정 수준이내에 머무릅니다.

이런 상태는 전제적으로 큰 변화가 없는 안정된 상태로 볼 수 있습니다.

3. 표본오차 - 못 쓰는 데이터란

단순하기는 하지만 어느 정도 활용하는 방법을 설명했습니다.

표본 오차를 사용하면 다 알 수 없는 모집단이 있을 때, 샘플링 조사했을때 정밀도를 알 수 있습니다.

특히 조사를 반복했을때 유의미한 변동폭이 생겼는지 파악하기에 좋습니다.

그런데 여기서 설명드리고 싶은건 "못 쓰는 통계데이터"에 관해서 입니다.

언제 표준 오차를 사용할 수 있고 없고를 아는 것이 더 중요하기 때문입니다.

아래 상황을 보겠습니다. 전체 모집단 5,300개에서 100개씩 샘플링 한 결과입니다.

5번 실행한 결과를 아래 표로 정리했습니다.

데이터의 표준 오차는 3~7 정도 수준이지만 "실 평균과의 차이"가 크게 발생한 데다가 매번 양상이 크게 바뀝니다.

이런 데이터는 위험합니다. 모집단도 모르고 1~2회차의 데이터를 뽑았을 때는 잘못된 의사 판단을 내리기 쉽습니다.

의도하지 않고 랜덤하게 뽑았는데도 그렇습니다. 원인을 확인해 보겠습니다.

① 전체집단의 분포가 표준 정규분포 모델을 상당히 크게 넘어설때

일단 모집단의 분포를 보겠습니다.

평균이 123이지만 Min은 0이고 MAX가 1,113입니다. 이건 min 대비 max가 너무 큽니다.

실제로 분포를 봐도 아래처럼 큰 값으로 쭉 발생하는 것을 볼 수 있습니다.

이런 경우에 저 300을 넘어가는 큰 집단이 표본집단에 포함 되고 말고의 차이가 너무 커집니다.

정규 분포의 좌우 대칭이 깨져서 표준오차가 쓸모가 없어지는 케이스 입니다.

그런데 문제는 우리는 보통 모집단의 산포를 모른다는 것입니다.

② 표본집단의 산포를 봅니다.

표본집단을 조사했을때 산포의 모양을 볼 필요가 있습니다.

위 예시의 첫번째 조사시 산포인데 굉장히 불규칙합니다.

이런 산포에서는 미래의 값을 예상할 수 있을 꺼라 기대하는 것이 불가능합니다.

즉, 조사 데이터가 정규분포 통계가 적용하기 어려운 경우 통계 데이터를 적용이 어렵습니다.

이렇게 표본오차와 그 계산법, 활용도에 대해서 알아봤습니다.

특히 현장에서 통계를 사용하다보면 힘든 상황에 자주 마주합니다.

그럴 때는 통계데이터가 이렇게 나오는 이유를 파악하고, 보조지표를 설정하기도 합니다.

예를 들어 조사를 할때마다 뽑을 때 날씨가 크게 변해 응답자의 답변이 변했다던가,

강가에 있는 건축물과 산에 있는 건축물의 데이터를 같은 카테고리에 포함하지 않았는지를 점검하는 것입니다.

그래도 가장 중요한 것은 이 데이터를 사용할 것인지 결정해야 합니다.

데이터가 나오면 기계적으로 적용해서 의사판단을 하는 경우가 너무 많습니다.

의사결정에 대한 데이터는 디테일이 중요합니다.

통계값의 불확실도를 파악하고 또 쓸만한 값인지 볼 줄 알아야 재대로 된 결정이 나옵니다.

1. 타원

타원이라고 하면 원의 찌그러진 형태로 알고 있습니다.

이 타원을 정확하게 정의하기 위해 먼저 두개의 초점(F, F')이 생각합니다.

두 개의 초점에서 거리의 합이 일정한 점들의 자취를 타원이라고 합니다.

이렇게 정의한 타원은 수학적으로 공식으로 나타낼 수 있습니다.

공식은 딱딱해 보이지만 타원의 여러가지 요소를 정의할 수 있습니다.

타원의 중심은 (m, n)으로 나타낼 수 있고, A~A'와 B~B'는 각각 장축과 단축의 길이를 나타냅니다.

m, n이 0일 때 장축과 단축이 만드는 4개의 꼭지점은 (A, 0), (-A, 0), (0, B), (0, -B)가 됩니다.

2. 포물선

포물선은 일반적인 이야기로 물건을 던졌을 때 날아가는 흔적을 이야기 합니다.

이것도 정확하게 정의하기 위해서 하나의 초점과 하나의 정점을 지나는 직선을 하나 그립니다.

이 직선과 수직한 선을 하나 더 그립니다.

초점에서 어떤 점까지 거리와 또 수직한 직선에서 어떤 점까지의 거리가 같은 점들을 모으면 포물선형이 됩니다.

이렇게 어렵게 그린 포물선이지만, 방정식은 간단합니다.

가로일 때와 세로일 때의 x, y의 위치만 바꾸면 표현할 수 있습니다.

타원과 포물선에 대해서 먼저 설명 드렸고 그럼 이런 형태를 사용해서 어떤 것을 할 수 있는지 알아보겠습니다.

보통 건축물이나 투사체에 계산에 관한 이야기가 많아서 오늘은 반사경에 대한 알아보려합니다.

3. 타원과 포물선의 반사경

일반적으로 빛을 제어할 때는 렌즈를 사용합니다.

하지만 반사경을 사용하기도 하는데 반사되는 면의 모양에 따라서 광학적 특성이 달라집니다

① 원형 반사경

먼저 원형을 보면 중심에 광원이 있을 때  그대로 반사됩니다.

조명을 만들기도 하고요, 간섭계를 통해 간섭무늬를 만드는 것에도 사용할 수 있습니다.

② 타원형 반사경

초점을 지나는 광선 혹은 광원이 초점에 있을 때 그 빛들은 다른 한점에 집광됩니다.

이 성격을 이용해서 센서에 집광할 수도 있고 경로를 통제할 수 있습니다.

③ 포물선형 반사경

평행한 광을 초점에 집속시킵니다.

초점위치에 광원이 있다면, 평행광으로 만들 수도 있습니다.

원형 / 타원형 / 포물선형으로 거울을 만들면 이렇게 정밀하게 광선을 제어할 수 있습니다.

하지만 거울이 아니라 렌즈로도 초점을 맺을 수 있는데 왜 반사경을 사용해야 하는지도 알아보겠습니다.

4. 반사경의 장점과 단점

반사경말고 렌즈를 사용해서 빛을 집약시키거나 평행광을 만들 수도 있습니다.

일반적인 방법이 그런데 왜 반사경을 사용하는냐 하면 장점이 많습니다.

① 장점 - 에너지 손실이 적다

렌즈의 경우 광이 통과하는데 고에너지 레이저의 경우 소재 안에서 에너지가 손실됩니다.

이 손실되는 에너지는 열에너지로 전환되니 양이 크면 렌즈가 열로 변형되거나 심하면 파손이 될 수 있습니다.

반사경의 경우 표면이 손상되도 소재가 통채로 손상되지는 않으니 유리합니다.

이 에너지의 손실은 매질의 굴절율이 변경될 때 심하게 일어납니다.

즉, 렌즈의 경우 광이 렌즈에 들어갈때와 나올때 두번 굴절율이 변경됩니다.

반사경은 표면 접촉이 한번만 있고 굴절율 변화는 없음으로 많이 유리합니다.

② 장점 - 광경로의 축소

일반적으로 반사경이 렌즈에 비해서  공간을 절감할 수 있습니다.

무조건적으로 공간이 줄어드는건 아니지만 여튼 원하는데로 접을 수 있으면 설계에 유리합니다.

③ 장점 - 수차가 적다 

큰 차이는 아니지만 반사경이 구면수차를 줄이기 유리합니다.

초점에서 발생하는 수차가 적은데 차이가 크지는 않아서 고정밀 광학계에서만 반사경을 선호합니다.

④ 단점 - 가격

비싸다는 것입니다.

광학계 전체는 공간이 작아지도록 설계해도 단품의 반사경 형태로 설계할 경우 안착 조립공간이 필요합니다.

이것 때문에 반사경의 면적이 커져야 합니다.

광학 소재는 가격이 비싸고 가공이 어려워 비용을 꽤 올릴 수도 있습니다.

⑤ 단점 - 조립이 어렵다

설계구조를 잡기가 어렵다는 말입니다.

설계를 해서 만들면 가능하지만 많은 경우 반사경이 기울였는지 표면에 휨이 발생했는지 알기가 어렵습니다.

완성품으로 가지고 검증을 하려고 하면 이미 조립이 된 후라서 늦는 경우가 많죠.

반사광학계 자체를 고정밀로 사용하는 경우가 많아 이같은 단점은 꽤 치명적이니다. 

이런 특성들 때문에 하이파워 레이저나 초정밀 광학계에서는 반사렌즈를 선호합니다.

하지만 투과형 광학계는 줌렌즈를 사용하기 편해서 영상 카메라용으로 쓰입니다.

위에서 말씀드린 장단점은 상대적인 것임을 말씀드립니다.

각각의 상황에 따라서도 적합한 부품이 다 다릅니다. 절대적으로 좋은 형상은 없습니다.

목차

1. 최소자승법 같이 복잡한 계산이 필요한 이유

2. 원의 방정식을 구할 때 최소자승법 적용하기

3. 측정하는 포인트의 수에 따른 오차

4. 계산하는 소스코드(엑셀 VBA 함수 코드)

비접촉 2차원 측정기(공구현미경)이나 3차원 측정기로 원을 측정해 봅시다.

이 기계들은 여러개의 점을 찍어서 모양을 예상하는 방법으로 측정을 합니다.

원을 측정할 때는 최소 3개의 점을 측정해야 하며 타원 모드(지원한다면) 5개의 점을 요구합니다.

왜 이것이 필요한지 그리고 구할 수 있는 것이 무엇이 있는지 알아보겠습니다.

1. 최소자승법 같이 복잡한 계산이 필요한 이유

현실에서 만들어진 물건을 측정하다보면 정확한 원이 아닌 경우가 많습니다.

그러다 보면 오차가 발생하는데 이걸 보정하는 절차가 필요합니다.

계산한 있는 해답 직선에서 계측값의 오차가 가장 적어지는 점을 찾는 것입니다.

이걸 최소자승법이라고 하고 가장 흔한 오차 보정 방식입니다.

현실에서는 완전한 원형은 거의 불가능하겠죠? 

그럼으로 발생하는 오차를 줄여주는 최소자승법 알고리즘을 기준으로 측정합니다.

검은 선은 리얼한 제품의 생김선이고, 빨간 점선은 가장 가까운 원입니다.

그럼 검정선의 지름을 구할때는 오차(ERROR)가 최소가 되는 값을 찾아서 적용합니다.

2. 원의 방정식을 구할 때 최소자승법 적용하기

3개의 점이 필요한 이유는 원의 방정식 때문입니다.

위치를 알려주는 a, b와 반지름인 r로 구성된 식입니다.

그럼 3개의 점 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)를 측정했다고 합시다.

오차들의 합 Error와 제곱합은 아래와 같습니다.

이 제곱합을 각각의 요소에 편미분하면 가장 작은 오차를 가지는 값을 구할 수 있습니다.

원의 편미분 결과는 이미 다양한 프로그램에서 소스를 제공하니 직접 계산하지 않겠습니다.

이 방식을 적용하기 위해서는 최소한 3개의 포인트가 필요합니다.

3. 측정하는 포인트의 수에 따른 오차

그럼 점의 수에 따라 원이 얼마나 정확해지는지 확인해 보겠습니다.

아래 표는 점의 숫자를 변경하면서 측정한 결과입니다.

왼쪽은 6개의 점, 오른쪽은 8개의 점을 측정했습니다.

이 때 오차는 RMS 방식(제곱의 평균)으로 계산 할 때 점을 6개에서 8개로 늘리면 0.096에서 0.055로 줄어듭니다.

측정결과는 원에서 많이 어긋난 일그러짐을 가지고 측정했기 때문에 오차가 어느정도는 있게 되어있습니다.

시간과 비용이 허락한다면 규칙적인 간격으로 측정하고 8포인트 이상을 추천합니다.

4. 계산하는 소스코드(엑셀 VBA 함수 코드)

인터넷에 있는 결과를 제가 약간 튜닝해서 코드로 만들었습니다.

엑셀로 쓰는데다 임시라 좀 조잡해 보이네요.

점을 입력하면 결과를 반환해주는 함수입니다. 가져다 사용하실 분은 사용하세요.

최소 자승법같은 경우 기준점을 잡는 것과 구현하는 것에 따라서 결과가 많이 다를 수 있습니다.

이게 정답이라고 할 수는 없고요, 혹시 참고하실 분은 이것도 보시라는 의미로 생각하세요.

Function Solution_Circle_a(points As Range, Optional M = 3) As Double
    '입력된 점들을 입력합니다.
    'M은 1일때 a, 2는 b, 3일때는 r을 반환합니다.
    
    Dim numPoints As Integer
    numPoints = points.Rows.Count
    
    If numPoints < 3 Then
        Solution_Circle_a = "최소 3개의 점을 입력하시오"
        Exit Function
    End If
    
    If (M <> 1) And (M <> 2) And (M <> 3) Then
        Solution_Circle_a = "1,2,3 중 하나를 입력하시오"
        Exit Function
    End If
    
    
    ' 입력된 점들을 배열로 변환합니다.
    Dim pointArray() As Variant
    pointArray = points.Value
    
    ' 중심 (a, b) 및 반지름 r을 찾기 위한 변수 선언
    Dim a As Double, b As Double, r As Double, r2 As Double
    a = 0
    b = 0
    r = 1
    
    
    '원의 중심과 반지름을 추정합니다.
    Dim sumX As Double, sumY As Double, sumX2 As Double, sumY2 As Double
    Dim sumXY As Double, sumX3 As Double, sumY3 As Double, sumX2Y As Double, sumXY2 As Double
    
    Dim i As Integer
    For i = 1 To numPoints
        sumX = sumX + pointArray(i, 1)
        sumY = sumY + pointArray(i, 2)
        sumX2 = sumX2 + pointArray(i, 1) ^ 2
        sumY2 = sumY2 + pointArray(i, 2) ^ 2
        sumXY = sumXY + pointArray(i, 1) * pointArray(i, 2)
        sumX3 = sumX3 + pointArray(i, 1) ^ 3
        sumY3 = sumY3 + pointArray(i, 2) ^ 3
        sumX2Y = sumX2Y + pointArray(i, 1) ^ 2 * pointArray(i, 2)
        sumXY2 = sumXY2 + pointArray(i, 1) * pointArray(i, 2) ^ 2
    Next i
    
    Dim N As Double
    N = numPoints
    
    Dim D As Double
    D = N * (sumX2 * sumY2 - sumXY ^ 2) + 2 * (sumX * sumXY2 - sumY * sumX2Y) + (sumX3 * sumY - sumY3 * sumX)
    
    Dim Da As Double, Db As Double, Dc As Double
    Da = sumY2 * (sumX2 - sumX) - sumX2Y * (N * sumX - sumY) + sumXY2 * (N * sumX - sumY) - sumXY * (N * sumX2 - sumX3) + sumX2 * (sumY - N * sumXY)
    Db = N * (sumX2Y * sumX2 - sumX * sumXY2) + sumY3 * (sumX2 - N * sumX) + sumX3 * (N * sumXY - sumY) - sumY2 * (sumX2 - N * sumX) - sumX2 * (sumX2 - N * sumX3) + sumXY * (sumX3 - N * sumX2)
    Dc = N * (sumXY2 * sumX - sumY * sumX2) + sumX3 * (sumXY - N * sumY) + sumY3 * (N * sumX - sumY) - sumX2 * (sumXY - N * sumY) - sumXY * (sumXY - N * sumY2) + sumY2 * (sumX2 - N * sumXY)
    
    ' 중심 (a, b) 및 반지름 r 계산
    a = -Da / (2 * D)
    b = -Db / (2 * D)
    For j = 1 To numPoints
        r = r + (pointArray(j, 1) - a) ^ 2 + (pointArray(j, 2) - b) ^ 2
    Next j
    
    r = Sqr(r / N)
    
    
    
    ' 결과 출력    
    If M = 1 Then
        Solution_Circle_a = a
        ElseIf M = 2 Then
        Solution_Circle_a = b
        ElseIf M = 3 Then
        Solution_Circle_a = r
    End If
    
End Function

목차

1. 최대공약수, Greatest Common Divisor : GCD

2. 최대공약수 구하는 법 - 소인수 분해로 구하기

3. 최대공약수 구하는 법 - 유클리드 호제법

4. 유클리드 호제법 증명

1. 최대공약수, Greatest Common Divisor : GCD

최대공약수는 두 개의 수 A, B의 약수들 중 공통된 숫자 중 최대 수를 가르키는 것입니다.

숫자가 많아져도 역시 최대공약수는 존재합니다.

현대사회에 들어서면서 컴퓨터를 통해 언어로 표현조차 안되는 양의 숫자들의 연산이 가능해지면서,

각 숫자들의 관계를 파악해주는 공약수가 매우 중요한 팩터가 되었습니다.

2. 최대공약수 구하는 법 - 소인수 분해로 구하기

소인수 분해를 한 후에 공통적인 숫자만 골라내면 됩니다.

(예시 - 24, 60, 84의 최대공약수 구하기)

24 = 2 × 2 × 2 × 3

60 = 2 × 2 × 3 × 5

84 = 2 × 2 × 3 × 7

이 숫자들은 모두 2를 두 개, 3을 하나 포함하고 있습니다.

최대공약수는 12 = 2 × 2 × 3이 됩니다.

작은 수들의 연속일 때는 이 것도 좋은 방법이죠.

하지만 큰 수 일 때는 더 좋은 방법이 있습니다.

3. 최대공약수 구하는 법 - 유클리드 호제법

고대 그리스의 수착자인 유클리드는 기학학 원론(유클리드 원론)으로 유명합니다.

총 13개권으로 정리된 이 책은 100% 유클리드에 머리속에서 나온 것은 아니고, 정리본에 가깝습니다.

하지만 기하학과 정수론의 시초로 알려진 책으로 공리를 제안하고 있다는 데서 수학의 시초라 불립니다.

이 원론에 내용 중의 호제법은 인류 최초의 알고리즘으로 최대 공약수를 구하는 법이 기록되어 있습니다.
두 정수 A, B의 최대공약수를 GCD(A, B)라고 하자.
정수 A, B, q r (b ≠ 0)에 대하여 A = Bq + r이면 GCD(A, B) = GCD(B, r)가 성립한다.
- 네이버 지식백과 -

그러니까 A, B의 관계를 A = Bq + r로 나타내면 A, B와 B, r의 최대공약수는 같다는 말입니다.

예시를 보시면 알 수 있습니다.

예를 들어 2,056,512와 123,456의 최대공약수를 구해 보겠습니다.

이 정도 수의 약수를 구하라고 하면 손으로 계산하는 경우는 포기하기 딱 좋은 큰 수입니다.

호제법은 여러번 반복해야 합니다.

마지막은 나머지가 없습니다. 바로 이 때 192가 바로 최대공약수입니다.

처음에는 접근이 어렵다고 생각한 큰 수도 7번 반복하면 구해지네요.

손으로 하려면 번거롭기는 합니만 구할 수 있는 방법이 있는 것 자체가 좋은 일일 겁니다.

그래도 역시 프로그램으로 알고리즘을 짜두는게 편리하겠죠.

큰 수도 몇번만 연산하면 계산할 수 있으니 컴퓨터의 연산속도로는 상상도 못 하는 단위도 처리할 수 있습니다.

4. 유클리드 호제법 증명

호제법의 증명을 잠시 소개합니다.

이렇게 정리를 했으면 아래 식부터 시작해서 증명하겠습니다.

따라서 G역시 r의 약수입니다.

또한 G'은 최대공약수임으로 G는 G'의 약수입니다.

여기까지 G는 B와 r, G'의 약수가 됩니다.

여기서 m은 b의 약수을 알 수 있습니다.
지금까지 알아낸 바로,

이로서 m은 a와 b의 공약수임을 알았습니다.

a, b는 서로소임으로 공약수는 1뿐입니다. 

m=1이고, G'=mG=G 고로 G=G'입니다.

최소 공배수 부분에서 설명드리겠지만, 최대공약수가 있으면 최소 공배수도 구할 수 있습니다.

이 공약수 공배수는 알고리즘이 완성되어 대부분의 수학툴에서 사용할 수 있습니다.

목차

1. 최소 공배수 (Least Common Multiple : LCM)

2. 최소공배수를 찾는법 - 배수를 나열해서 찾기

3. 최소공배수를 찾는법 - 소인수 분해로 구하기

 4. 최소공배수를 찾는법 - 최대공약수로 구하기

1. 최소 공배수 (Least Common Multiple : LCM)

최소공배수는 두 수가 A, B가 있을 때 A와 B의 배수 중 같은 수를 공배수라고 합니다.

이 공배수들 중 가장 작은 수은 최소공배수(LCM)라고 합니다.

최소 공배수를 LCM(A, B)의 배수(2 x LCM, 3 x LCM ...)은 모두 A, B의 공배수입니다.

즉, 공배수는 무한개로 존재하며, 기본적으로 A x B가 항상 공배수라서 공배수가 없는 수들은 존재하지 않습니다.

•  A x B는 항상 최소 공배수인 것은 아님
•  A, B, C, D, 등 아무리 많은수가 있어도 공배수는 존재함

2. 최소공배수를 찾는법 - 배수를 나열해서 찾기

  ① 숫자들을 전부 곱합니다.(예 8 × 9 × 12 = 864)

  ② 그 전까지의 배수를 모두 구해서 공통된 수가 있으면 최소 공배수입니다.

  ③ 없다면 모두 곱한 수가 최소공배수입니다.

예시 - 8, 9, 12의 최소공배수 구하기

이런 반복계산 방식은 생각하기는 쉽지만 수가 커지만 노동이 될 수도 있습니다.

그리고 놓치는 문제가 있죠

좀 더 복잡한 수들의 최소공배수를 구하는 방법입니다.

3. 최소공배수를 찾는법 - 소인수 분해로 구하기

  ① 소인수분해를 합니다.
  ② 각 숫자가 모두 포함하는 공통적인 수를 만듭니다.
  ③ 그 수가 최소공배수입니다.

예를 들어 보겠습니다.

27 = 3 × 3 × 3

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

112 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7

최소공배수는 3,024 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7 입니다.

이 숫자는 27 = 3 × 3 × 3, 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3, 112 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7의 세개를 각각 다 포함하고 있습니다.

2는 4, 3을 3개가 가장 많고 7이 하나 더 있으니 다 가져오면 완성되는 구조입니다.

이 원리로 공약수가 1만 있는 관계(서로소)이거나 소수들은 최소공배수 = 서로 곱한 수입니다.

 4. 최소공배수를 찾는법 - 최대공약수로 구하기

 말로 표현하면 수들을 곱한 다음 겹치는 것을 없애주는 개념입니다.

겹치는 것은 공약수가 됩니다. 이 개념은 수학적 다르게 표현할 수도 있습니다.

숫자가 두개일때 최소공배수

숫자가 세 개일 때는,

※ ABS는 절대값, GCD(A,B)는 최대공약수 입니다. 최대공약수는 아래에서 알아보겠습니다.

최대공약수는 무엇이며 어떻게 구하거나 계산하는지 알아봅시다.(Greatest Common Divisor, GCD)

분모는 2개의 최소공배수를 구하고 이 수를 다시 세번째 숫자와 최소 공배수를 구합니다.

분자는 각 항목을 모두 곱하고요.

복잡해 보이지만 규칙성이 존재하면 알고리즘으로 짤 수 있습니다.

반복작업은 프로그램화 하여 컴퓨터가 수행하면 많은 수 혹은 굉장히 큰 수도 최소공배수도 구할 수 있습니다.

자연수란 말 그대로 수를 세는데 사용합니다.

가감의 개념이 들어가면 정수에 개념이 됩니다.

1. 약수

어떤 수 A를 나누었을 때 나머지 없이 나누어 떨어지는 수 B들이 있을때 B는 A의 약수라고 합니다.

예를 들어 72의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72가 됩니다.

나눈다는 개념과 좀 다른것 같지만 1로는 모든 수가 나누어지고 자기자신 역시 나누어집니다.

1과 자신 말고는 약수를 가지지 않는 수를 소수라고 합니다.

2. 배수

배수는 어떤 수 A에 자연수를 곱하면 생기는 수입니다.

7의 배수는 14, 21, 28, 35 ...로 약수와는 달리 그 수가 무한대입니다.

A의 배수 A2, A3, A4 ... 가 있다면, A는 모든 배수 A2, 3, 4들의 약수입니다.

3. 공약수와 공배수

공약수는 어떤 수 A, B가 있을때 두 수의 약수중 같은 것 들을 말합니다.

72와 48의 경우 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24가 공약수가 됩니다.

1을 제외하고 공약수가 전혀 없는 관계를 서로소라고 부릅니다.

공배수는 두수를 곱해서 나오는 겹치는 수를 말합니다.

예를 들어 4와 6의 공배수는 12, 24, 36 ...이 됩니다.

4. 공약수와 공배수가 사용되는 경우

공약수와 공배수는 수학개념적으로 원론적인 축에 들어가는 개념입니다.

정수론에서는 툭하면 배수와 약수를 통한 해석을 펼칩니다.

특히 약수 → 약수가 없는 수, 소수하면 암호화 / 코드화의 핵심이라는게 유명합니다.

그러다 보니 약수/배수 이야기가 먼 세상 같지만 이 개념들은 사실 일상에서 가까운 이야기입니다.

정확하게는 가까운것을 이용해서 학문을 펼친다고 봐야 합니다.

• 공약수는 자원의 활용에서 사용됩니다.
  - 급식을 학교 3개에 720명, 800명, 1000명에게 공급할 때 약수는 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40, 80이 있습니다.
  만일 생산지에서 80(최대공약수)개 들이 포장을 하면 효율적으로 공급할 수 있지요.
  - 고객사 A회사는 레일이 24 m 단위 B회사는 32 m 단위로 그때 그때 필요한만큼 사간다고 칩시다.
  그렇다면 6m 단위로 짤라두면 어느 회사에서 요구하든 편리하게 대응할 수 있을 껍니다.
  
  
• 공배수는 생산의 단위로 이용됩니다.
  - 한 틀에서 고무 타이어는 48개, 휠은 120개 생산 될 때 타이어는 240개 단위로 생산하는게 비용이 가장 절약 됩니다.
  (사실은 더 복잡하죠.)
• 물류에서 계란은 12개 빵은 30쌍으로 묶어서 팝니다. 토스트는 60개 단위로 최대 이윤이 남겠습니다.
  61개를 만들면 오히려 손해볼 수도 있다는 것이죠.

실재 이런 개념을 매우자주 자연스럽게 이용합니다.

특히 공배수는 장사를 한다면 자연스럽게 사용하는 개념이니 기억해 두어야 합니다.