최소공배수는 무엇이며 어떻게 구하거나 계산하는지 알아봅시다.(Least Common Multiple, LCM)

목차

1. 최소 공배수 (Least Common Multiple : LCM)

2. 최소공배수를 찾는법 - 배수를 나열해서 찾기

3. 최소공배수를 찾는법 - 소인수 분해로 구하기

 4. 최소공배수를 찾는법 - 최대공약수로 구하기

 

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1. 최소 공배수 (Least Common Multiple : LCM)

 

최소공배수는 두 수가 A, B가 있을 때 A와 B의 배수 중 같은 수를 공배수라고 합니다.

이 공배수들 중 가장 작은 수은 최소공배수(LCM)라고 합니다.

최소 공배수를 LCM(A, B)의 배수(2 x LCM, 3 x LCM ...)은 모두 A, B의 공배수입니다.

즉, 공배수는 무한개로 존재하며, 기본적으로 A x B가 항상 공배수라서 공배수가 없는 수들은 존재하지 않습니다.

 

•  A x B는 항상 최소 공배수인 것은 아님
•  A, B, C, D, 등 아무리 많은수가 있어도 공배수는 존재함

 

 

2. 최소공배수를 찾는법 - 배수를 나열해서 찾기

 

  ① 숫자들을 전부 곱합니다.(예 8 × 9 × 12 = 864)

  ② 그 전까지의 배수를 모두 구해서 공통된 수가 있으면 최소 공배수입니다.

  ③ 없다면 모두 곱한 수가 최소공배수입니다.

 

예시 - 8, 9, 12의 최소공배수 구하기

 

공배수 구하기

이런 반복계산 방식은 생각하기는 쉽지만 수가 커지만 노동이 될 수도 있습니다.

그리고 놓치는 문제가 있죠

좀 더 복잡한 수들의 최소공배수를 구하는 방법입니다.

 

 

3. 최소공배수를 찾는법 - 소인수 분해로 구하기

 

  ① 소인수분해를 합니다.
  ② 각 숫자가 모두 포함하는 공통적인 수를 만듭니다.
  ③ 그 수가 최소공배수입니다.

 

예를 들어 보겠습니다.

27 = 3 × 3 × 3

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

112 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7

 

최소공배수는 3,024 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7 입니다.

이 숫자는 27 = 3 × 3 × 3, 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3, 112 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7의 세개를 각각 다 포함하고 있습니다.

2는 4, 3을 3개가 가장 많고 7이 하나 더 있으니 다 가져오면 완성되는 구조입니다.

이 원리로 공약수가 1만 있는 관계(서로소)이거나 소수들은 최소공배수 = 서로 곱한 수입니다.

 

 

 4. 최소공배수를 찾는법 - 최대공약수로 구하기

 

 말로 표현하면 수들을 곱한 다음 겹치는 것을 없애주는 개념입니다.

겹치는 것은 공약수가 됩니다. 이 개념은 수학적 다르게 표현할 수도 있습니다.

숫자가 두개일때 최소공배수

두개의 최소공배수

 

숫자가 세 개일 때는,

 

3개의 최소공배수

 

※ ABS는 절대값, GCD(A,B)는 최대공약수 입니다. 최대공약수는 아래에서 알아보겠습니다.

최대공약수는 무엇이며 어떻게 구하거나 계산하는지 알아봅시다.(Greatest Common Divisor, GCD)

 

분모는 2개의 최소공배수를 구하고 이 수를 다시 세번째 숫자와 최소 공배수를 구합니다.

분자는 각 항목을 모두 곱하고요.

복잡해 보이지만 규칙성이 존재하면 알고리즘으로 짤 수 있습니다.

반복작업은 프로그램화 하여 컴퓨터가 수행하면 많은 수 혹은 굉장히 큰 수도 최소공배수도 구할 수 있습니다.