표준 정규 분포(Standard Normal distribution) 사용하는 법, 산포를 표준화하여 확률을 구하는 방법을 알아보자

목차

1. 표준정규분포를 보는 이유

2. 표준정규분포를 볼 때 용어설명

3. 표준정규 분포표 보는 법

4. 통계를 표준화 하는 방법

 

 

이미 세상에는 좋은 계산기가 많아 복잡한 확률 계산도 얼마든지 할 수 있습니다.

편리한 세상에서 오늘 포스팅할 내용은 몰라도 될지도 모릅니다.

하지만 과거의 계산방식을 공부하는 것은 단순 흥미를 넘어 원리를 알 수 있는 방법이 됩니다.

오늘은 정규분포의 대표인 표준 정규 분포가 왜 있고, 이걸 어떻게 사용하는 알아봅시다.

(정규분포(Normal distribution)의 설명 링크)

 

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1. 표준정규분포를 보는 이유

 

정규분포를 수학적으로는 복잡해서 직관적으로 이해하는건 어렵습니다.

아주 똑똑한 사람이 아니고서야 뭐가 커진다는지 작아진다는지 이해가 안됩니다.

특히 산포의 분석은 실험, 공정, 제조 현장에 이루어져, 저런 복잡한 방정식 풀고 있을 시간이 없습니다.

그래서 등장한 것이 표준정규분포이고, 방정식은 아래와 같습니다.

 

표준 정규 분포 방정식

 

그런데 이 방정식도 쉬워보이지는 않습니다. 방법을 좀 알아야 하죠.

표준정규분포를 사용하여 확률분포를 분석하는 방법을 알아보겠습니다.

 

 

2. 표준정규분포를 볼 때 용어설명

 

포스팅이 길어지지만, 먼저 용어 정리를 하겠습니다.

표준정규분포에서 기준이 되는 사건값을 Z라고 하겠습니다.

이때 우리가 관심있는 것은 사건이 일어날 확률 P 입니다.

아래 그래프에서는 -1보다 작은 확률에 관심이 있고, 이걸 P (x ≤ -1)라고 표기합니다.

 

표준 정규 그래프 보는 법

 

 

3. 표준정규 분포표 보는 법

 

이제 우리가 관심이 있는 확률 현상이 있고, 그 계산이 어렵습니다.

이 때 표준정규분포에 대해서만 먼저 계산해둔 정규 분포표가 있습니다.

표의 그래프 왼쪽에서부터 Z 값에 대한 확률을 표기해 둔 것입니다.

 

계산해둔 값입니다

 

즉 표는 정규 분포에서 Z = 1.00이 되는 값인 0.8413이란 숫자는 아래 회색으로 칠한 구간의 면적이 됩니다.

이건 Z = 1.00보다 낮을 확률이 84.13%라는 의미이기도 합니다.

 

1.0보다 낮을 확률

 

연습을 많이 할 수록 좋으니까, 예를 하나 더 들어 보겠습니다.

복잡하게 P (-1 ≤ x ≤ 2)의 범위를 잡겠습니다.

표준정규분포는 좌우 대칭이기 때문에 양수인 구간을 구하면 음수인 구간 같습니다.

P (-1 ≤ x ≤ 0 )과 P (0 ≤ x ≤ 2)으로로 나누어 두 값을 더해주면 됩니다.

 

나누어 계산합니다.

 

① 양수구간인 P (0 ≤ x ≤ 2)를 먼저 보겠습니다.

정규 분포표에서는 왼쪽 끝에서부터 되어있어 연산을 해야 합니다.

먼저 P (x ≤ 2) = 0.9772이고 P (x ≤ 0) = 0.5니까,

P (0 ≤ x ≤ 2) = P (x ≤ 2) - P (x ≤ 0) = 0.9772 - 0.5 = 0.4772가 됩니다.

 

필요한 숫자들이 많습니다

 

② 같은 방식으로 P (-1 ≤ x ≤ 0)를 계산하겠습니다.

표준정규 분포표에는 음수가 없지만 좌우 대칭임으로 P (0 ≤ x ≤ 1)과 같습니다.

그럼 위와 같은 요령으로 

P (-1 ≤ x ≤ 0) = P (0 ≤ x ≤ 1) =  P (x ≤ 1) - P (x ≤ 0.5) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413

 

이번에도 필요한 숫자가 많습니다

 

③ P (-1 ≤ x ≤ 2)를 구하기 위해 두 개를 합쳐주면 됩니다.

P (-1 ≤ x ≤ 2) = P (-1 ≤ x ≤ 0 ) + P (0 ≤ x ≤ 2) = 0.4772 + 0.3413 = 0.8185

가 됩니다. 하나하나 푸니까 복잡해 보이지만, 익숙해지면 빠르게 할 수 있어요.

 

 

4. 통계를 표준화 하는 방법

 

세상에는 다양한 통계가 있습니다.

이 통계가 정규분포라면 평균이 0이고 표준편차가 1인 표준정규분포로 변환이 가능합니다.

값에 평균을 빼고 표준편차로 나누면 표준화가 되는데요.

 

표준화

 

실생활에서 볼 수 있는 예시를 들어보겠습니다.

서울시의 7월 한달의 일간 강수량의 평균은 25.05 ㎜, 표준편차는 1.24입니다.

그렇다면 일간 강수량이 26.00 ㎜ 이하일 확률을 구한다 합시다.

표준화 Z = (값 - 평균) / 표준편차 = (26.00 - 25.05) / 1.24 ≒ 0.77

그럼 표준정규 분포표에서 Z = 0.77을 찾으면 0.7794, 77.94%가 나옵니다.

 

표준정규분포표의 조각