계승, 팩토리얼(Factorial)의 의미와 경우의 수를 뽑아보자(중복된 경우, 중복이 없는 경우)

어떤 사건이 있을 때 일어날 수 있는 상황이 n 가지라고 할때 가능한 모든 조합을 경우의 수라고 합니다.

몇가지 상황만 조합만 해도 숫자가 커지기 때문에 일일히 세는 것이 불가능합니다.

이런 경우의 수를 합리적으로 계산하기 위해서 계승이라는 개념이 도입됩니다.

계승은 영어표기인 팩토리얼(Factorial)이라고 부르는 경우가 많습니다.

 

 

1. 계승, 팩토리얼(Factorial)의 의미

 

계승, 팩토리얼(factorial)은 자연수에서 수를 해아려 나가면서 곱하는 개념입니다.

자연수 n이 있을때 1에서 n까지 모든 자연수를 곱하는 것입니다.

 

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

 

그리고 0은 자연수가 아니지만 0! = 1로 정의되어있습니다.

곱해지는 개념이라서 수가 늘어날 경우에는 아주 큰 값이 됩니다.

정식으로 나타내는 기호는 파이(Π)를 사용해서 아래와 같이 나타냅니다.

 

펙토리얼의 정의

 

수에 따른 팩토리얼의 값을 기하급수적으로 늘어납니다.

 

0! = 1

1! = 1

2! = 2 x 1 = 2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

...

7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5,040

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40,320

9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362,880

 

1, 2, 3 순서로 계산하지 않고 5, 4, 3 ... 처럼 꺼꾸로 들어오는게 좋습니다.

계승의 사용 될때는 큰 수부터 시작해서 들어옵니다.

또 다중계승 같이 복잡한 개념을 이해하기 편합니다.

아래는 다중계승 중 2씩 감소하는 이중계승입니다.

 

이중계승식

 

하지만 고등학교 수학등에서는 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 순으로 정렬하기도 합니다.

계승 자체가 확율 통계에서 많이 사용되는 함수고 후반부에 다루어지다 보니 이런 점이 오래 가는 것 같아요.

후반부 과목들도 비중을 두고 검토해 주었으면 하네요.

 

 

320x100

 

 

2. 계승, 팩토리얼(Factorial)의 의미

 

계승은 현실에서 경우에 수에 해당합니다.

 

① 순서가 있는 중복이 허용되지 않는 경우가 있을 때 총 발생가능한 경우의 수

 

경우의 수는 n개 상황 있을 때 모든 조합 가능한 상황의 숫자를 이야기하는 것입니다.

이 경우 n개의 경우가 있을때 r번 뽑는 경우는 아래와 같이 됩니다.

경우의 수

 

순서가 5장의 카드중에 2장을 뽑는 경우 (4, 3)과 (3,4)를 다른 것으로 보는 경우입니다.

예시로 "10명 중에서 1등 2등 3등이 나오는 경우의 수" 같은 것이 있습니다.

 

 

② 순서에 상관없이 중복이 허용되지 않는 경우에는 아래와 같이 서술됩니다.

 

n이라는 조합에서 k번을 얻어낼 때 가능한 경우의 수입니다.

중복 불가 경우의 수

 

순서가 5장의 카드중에 2장을 뽑는 경우 (4, 3)과 (3,4)를 같은 것으로 보는 경우입니다.

예시로 "10장 중에서 4장을 뽑는 경우의 수" 같은 것이 있습니다.

 

 

③ 중복이 허용되는 경우의 수는 아래와 같이 나타냅니다.

 

이 때는 중복조합이라고 부릅니다.(순서는 신경쓰지 않습니다.)

 

중복조합

 

 

예로 7개 중에 4개를 뽑는 경우를 계산해 보겠습니다.

 

 

① 순서가 있고 중복이 허용 안 되는 경우

 

② 순서가 없고 중복이 허용되지 않는 경우

 

③ 순서가 없고 중복이 허용되는 경우