로그(Log : Logarithm), 숫자로 세상을 표현하기 위한 표현 방식 로그함수의 뜻과 편리한 사용 예시인 데시벨(dB)

목차

1. 로그(Log : Logarithm)의 의미

2. 로그(Log)의 성질

3. 로그(Log)의 사용법

4. 로그의 응용 분야 -  데시벨(dB)

 

수학은 순수한 수에 대한 정리만으로도 가치있다고 할 수 있습니다.

그래도 보통 수학은 각종 현상을 측정하고 분석하는 도구로서 사용됩니다.

수를 표기하는 방식의 하나인 로그로 많은 자연현상을 편리하게 나타낼 수 있습니다.

 

320x100

 

 

1. 로그(Log : Logarithm)의 의미

 

로그는 사용 테크닉이라 정의에 대해서 들으면 조금 낮설고 어렵습니다.

그런데 말이 어려운거지 실제로 어렵지 않아요.

 

로그의 정의

이걸 글로 표현하면, 아래와 같습니다.

로그의 정의(출처 : 위키백과)
로그(log)는 지수 함수의 역함수로, 로가리듬(영어: Logarithm)의 줄임말이다. 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇 번 곱하여야 하는지를 나타낸다고 볼 수 있다.

 

로그함수는 3가지 요소로 이루어 집니다.

 

 

로그의 구성

• f(x) : 로그함수의 결과입니다.
• a : 로그함수의 밑이라고 하고 영어로는 BASE로 일부 교과서에는 "기저"라고 번역합니다.
   - 밑이 e가 되면 자연로그(natural logarithm), 10인 경우를 상용로그(common logarithm)라고 해서 많이 사용됩니다.
•  x : 로그에 적용할 결과입니다.
   - x는 음수(-)일 수가 없고, 양수(0)에 대해서만 적용됩니다.

 

 

2. 로그(Log)의 성질

 

학생들은 암기해야 하여 싫어하지만 사실 이 공식들이 로그를 편하게 만드는 것입니다.

• 로그는 곱셈을 덧셈으로 바꿀 수 있다.
• 나누기를 뺄셈으로 바꿀 수 있다.
• 지수를 상수로 내보낼 수 있다.

특히 지수를 상수로 보내는 것 이게 바로 가장 큰 특성입니다.

 

법칙

 

 

3. 로그(Log)의 사용법

 

지수를 상수로 보내는 특성에 대해서 알아보면, 로그를 사용하면 아래처럼 됩니다.

로그 관계

 

10^3을 1000이라고 나타 낼 수 있고 로그로하면 3이 됩니다.

이것은 LOG로 나타내면 3은 1의 1000배가 된다라고 표현됩니다.

 

이게 어떻게 활용되냐면 아래 지수함수 그래프의 일반형과 로그 스케일로 그린 그래프를 보겠습니다.

 

< 로그 활용의 예 : 지수함수 그래프 >

 

지수함수의 특징은 값이 점점 더 커지는 것입니다.

초기 변화량 대비 후반의 변화량이 매우 크게 됩니다.

지수함수 그래프 : 일반 그래프는 초기 변화가 보이지 않습니다.

 

"일반적인 숫자로 만든 그래프"에서는 큰 값 때문에 작은 값들은 구간 변화가 보기 힘듭니다.

위에서는 X축이 1~2구간에서 값이 0~1000이 됩니다. 나름 1000배의 변화지만 전체 스케일에 의해 보이지 않습니다.

하지만 로그 스케일그래프에서는 작은 값부터 큰 값까지를 상대적인 변화를 골고루 확인할 수 있습니다.

천체물리학이나 경제학 분야들에서는 큰 수와 작은 수를 동시에 사용해야 하고,

작은 값 변화와 큰 값 변화가 둘 다 중요한 경우가 많이 있는데 이럴때는 로그 스케일이 유용합니다.

그러나 급격한 변화를 강조해야 할때는 일반그래프가 좋을 때가 많습니다.

상황이나 보여주고 싶은 현상에 따라서 그래프를 선택해서 사용하면 됩니다.

 

 

4. 로그의 응용 분야 -  데시벨

 

로그는 여러분야에서 여러가지 용도로 사용되지만 실생활에서 많이 쓰이는 것 중 하나는 데시벨(㏈) 단위 입니다.

전기나 밝기의 단위로도 체용되지만 소리의 단위로 많이 사용합니다.

P0는 사람이 들을 수 있는 최소소리이고 기준이 됩니다.

 

데시벨의 뜻

 

로그에다가 10을 곱해준 이 단위는 활용가능성이 높습니다.

예를 들어 실내 소음이 40 ㏈ / 실외 확성기(낮) 60 ㏈ 굴삭기는 105 ㏈ 까지고 사용하려면 허가를 받아야 합니다.

그런데 들을 수 있는 최소소리 P0를 1이라고 하고 로그를 사용하지 않는 단위에서는,

40 ㏈ = 10,000이고 60 ㏈ = 1,000,000이며 105 ㏈ ≒ 32,000,000,000입니다.

이걸 손으로 쓰려면 큰 수의 경우 길고 기억하기도 힘들어서 불편합니다.

거기다가 굴삭기 이야기(32,000,000,000)를 하다가, 생활 소음(1,000,000)이 상대적으로

값이 너무 작아져서 마치 안 중요한 것처럼 느껴질 수 있습니다.

일상 생활의 공간과 공사 현장을 함께 표현할 수 있는 ㏈ 라는 단위가 편리한 것을 알 수 있습니다.