목차

1. 최소 공배수 (Least Common Multiple : LCM)

2. 최소공배수를 찾는법 - 배수를 나열해서 찾기

3. 최소공배수를 찾는법 - 소인수 분해로 구하기

 4. 최소공배수를 찾는법 - 최대공약수로 구하기

1. 최소 공배수 (Least Common Multiple : LCM)

최소공배수는 두 수가 A, B가 있을 때 A와 B의 배수 중 같은 수를 공배수라고 합니다.

이 공배수들 중 가장 작은 수은 최소공배수(LCM)라고 합니다.

최소 공배수를 LCM(A, B)의 배수(2 x LCM, 3 x LCM ...)은 모두 A, B의 공배수입니다.

즉, 공배수는 무한개로 존재하며, 기본적으로 A x B가 항상 공배수라서 공배수가 없는 수들은 존재하지 않습니다.

•  A x B는 항상 최소 공배수인 것은 아님
•  A, B, C, D, 등 아무리 많은수가 있어도 공배수는 존재함

2. 최소공배수를 찾는법 - 배수를 나열해서 찾기

  ① 숫자들을 전부 곱합니다.(예 8 × 9 × 12 = 864)

  ② 그 전까지의 배수를 모두 구해서 공통된 수가 있으면 최소 공배수입니다.

  ③ 없다면 모두 곱한 수가 최소공배수입니다.

예시 - 8, 9, 12의 최소공배수 구하기

이런 반복계산 방식은 생각하기는 쉽지만 수가 커지만 노동이 될 수도 있습니다.

그리고 놓치는 문제가 있죠

좀 더 복잡한 수들의 최소공배수를 구하는 방법입니다.

3. 최소공배수를 찾는법 - 소인수 분해로 구하기

  ① 소인수분해를 합니다.
  ② 각 숫자가 모두 포함하는 공통적인 수를 만듭니다.
  ③ 그 수가 최소공배수입니다.

예를 들어 보겠습니다.

27 = 3 × 3 × 3

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

112 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7

최소공배수는 3,024 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7 입니다.

이 숫자는 27 = 3 × 3 × 3, 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3, 112 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7의 세개를 각각 다 포함하고 있습니다.

2는 4, 3을 3개가 가장 많고 7이 하나 더 있으니 다 가져오면 완성되는 구조입니다.

이 원리로 공약수가 1만 있는 관계(서로소)이거나 소수들은 최소공배수 = 서로 곱한 수입니다.

 4. 최소공배수를 찾는법 - 최대공약수로 구하기

 말로 표현하면 수들을 곱한 다음 겹치는 것을 없애주는 개념입니다.

겹치는 것은 공약수가 됩니다. 이 개념은 수학적 다르게 표현할 수도 있습니다.

숫자가 두개일때 최소공배수

숫자가 세 개일 때는,

※ ABS는 절대값, GCD(A,B)는 최대공약수 입니다. 최대공약수는 아래에서 알아보겠습니다.

최대공약수는 무엇이며 어떻게 구하거나 계산하는지 알아봅시다.(Greatest Common Divisor, GCD)

분모는 2개의 최소공배수를 구하고 이 수를 다시 세번째 숫자와 최소 공배수를 구합니다.

분자는 각 항목을 모두 곱하고요.

복잡해 보이지만 규칙성이 존재하면 알고리즘으로 짤 수 있습니다.

반복작업은 프로그램화 하여 컴퓨터가 수행하면 많은 수 혹은 굉장히 큰 수도 최소공배수도 구할 수 있습니다.

자연수란 말 그대로 수를 세는데 사용합니다.

가감의 개념이 들어가면 정수에 개념이 됩니다.

1. 약수

어떤 수 A를 나누었을 때 나머지 없이 나누어 떨어지는 수 B들이 있을때 B는 A의 약수라고 합니다.

예를 들어 72의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72가 됩니다.

나눈다는 개념과 좀 다른것 같지만 1로는 모든 수가 나누어지고 자기자신 역시 나누어집니다.

1과 자신 말고는 약수를 가지지 않는 수를 소수라고 합니다.

2. 배수

배수는 어떤 수 A에 자연수를 곱하면 생기는 수입니다.

7의 배수는 14, 21, 28, 35 ...로 약수와는 달리 그 수가 무한대입니다.

A의 배수 A2, A3, A4 ... 가 있다면, A는 모든 배수 A2, 3, 4들의 약수입니다.

3. 공약수와 공배수

공약수는 어떤 수 A, B가 있을때 두 수의 약수중 같은 것 들을 말합니다.

72와 48의 경우 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24가 공약수가 됩니다.

1을 제외하고 공약수가 전혀 없는 관계를 서로소라고 부릅니다.

공배수는 두수를 곱해서 나오는 겹치는 수를 말합니다.

예를 들어 4와 6의 공배수는 12, 24, 36 ...이 됩니다.

4. 공약수와 공배수가 사용되는 경우

공약수와 공배수는 수학개념적으로 원론적인 축에 들어가는 개념입니다.

정수론에서는 툭하면 배수와 약수를 통한 해석을 펼칩니다.

특히 약수 → 약수가 없는 수, 소수하면 암호화 / 코드화의 핵심이라는게 유명합니다.

그러다 보니 약수/배수 이야기가 먼 세상 같지만 이 개념들은 사실 일상에서 가까운 이야기입니다.

정확하게는 가까운것을 이용해서 학문을 펼친다고 봐야 합니다.

• 공약수는 자원의 활용에서 사용됩니다.
  - 급식을 학교 3개에 720명, 800명, 1000명에게 공급할 때 약수는 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40, 80이 있습니다.
  만일 생산지에서 80(최대공약수)개 들이 포장을 하면 효율적으로 공급할 수 있지요.
  - 고객사 A회사는 레일이 24 m 단위 B회사는 32 m 단위로 그때 그때 필요한만큼 사간다고 칩시다.
  그렇다면 6m 단위로 짤라두면 어느 회사에서 요구하든 편리하게 대응할 수 있을 껍니다.
  
  
• 공배수는 생산의 단위로 이용됩니다.
  - 한 틀에서 고무 타이어는 48개, 휠은 120개 생산 될 때 타이어는 240개 단위로 생산하는게 비용이 가장 절약 됩니다.
  (사실은 더 복잡하죠.)
• 물류에서 계란은 12개 빵은 30쌍으로 묶어서 팝니다. 토스트는 60개 단위로 최대 이윤이 남겠습니다.
  61개를 만들면 오히려 손해볼 수도 있다는 것이죠.

실재 이런 개념을 매우자주 자연스럽게 이용합니다.

특히 공배수는 장사를 한다면 자연스럽게 사용하는 개념이니 기억해 두어야 합니다.